微积分上册复习题

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1、上册复习题【以下有的习题，需要你根据分析或提示做出解答】㈠填空题(1)点评：关于求函数极限（包括数列极限）的习题或模拟试题，由于做题方法不同，出现在本书不同的章节中。考试卷中多数都是求未定型的极限，用洛必达法则时，一般是先利用已知的知识（恒等变换或等价无穷小量替换，或分离出有极限的因式等）简化函数式后，再用洛必达法则。求其它未定型的极限，若使用洛必达法则时，要先把函数变形【变成或】。譬如①【分母分解因式后通分】【分子化简，分母分离出有极限的因式】②【求幂指函数的极限，要先用对数恒等式】③数列极限看作函数极限的特殊情形，譬如【用无穷小量替换更简单】17(2

2、)提示：令则点评：数列极限是极限论中的重要部分，本书是把它看作函数极限的特殊情形。关于求数列极限的习题，除了§0-3中那些简单的习题和第0章后的部分测试题外，其他习题或试题都集中在§5-6中。(3)设在内可微分，则，提示：点评：做本题时，注意“在内可微分在点可微分”、“可微可导”、“在点可导存在和且”、“可导连续”。(4)若函数在点连续，则分析：在点连续17(5)通过点且与椭圆相切的切线方程为分析：为求出切线方程，先求切点。设切点为，则【切点处切线的斜率】于是，切线方程为；又因为切线通过点，且切点又在椭圆上，所以将和代入，则切线方程为，化简为注：最后把切

3、线方程写成当然也可以！(6)设函数，则分析：先求出，因为所以。因此，(7)设为曲线与所围成区域的面积。记，，则，分析：先求出，即（见右图）第(7)题图xyO1117【根据莱布尼茨判别法，级数收敛】【见下注】注：其中级数是根据函数的幂级数展开式让时得到的。(8)微分方程满足的解为分析：它是一阶线性非齐次微分方程，但不是标准型，为了套用一般解的公式，需要首先把它变换成标准型，即【一阶线性非齐次微分方程的标准型】(9)若二阶线性常系数齐次微分方程的通解为，则非齐次微分方程满足条件的特解为分析：根据通解，说明齐次微分方程的特征方程有二重根，即，则非齐次微分方程就

4、是。请你根据初始条件求出特解。(10)幂级数的收敛半径为分析：教科书中给出了两个求收敛半径的公式（教科书，p.376），根据系数的具体情形，选用其中之一：或，则【有阶乘记号时不用前者；无穷多个系数等于0时不用后者】(11)已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛区间为分析：因为的收敛区间是以为中心的区间；又在收敛，在17发散。因此，的收敛区间为。因为与具有相同的收敛半径，而后者收敛区间的中心为，所以的收敛区间为(12)以点、和为顶点的三角形的面积是解法1【用向量积的几何解释做】因为，，则它们的向量积为因此，所求面积为解法2【用平面几何中的海伦公式做】

5、三角形的面积为，其中为三角形的边长，。在本题中，，，因此，㈡选择题(13)设均为正数，则【】(14)当时，与是等价无穷小量，则【】分析：根据假设，【可见，否则极限等于】17因此，，选。(15)当时，与等价的无穷小量是【】分析：当时，，排除；注：当时，；(16)当时，与比较是【】等价无穷小量同阶，但不等价无穷小量高阶无穷小量低阶无穷小量分析：【见§9-2习题⑼解答后面的点评】(17)设函数在处连续，下列命题错误的是【】若存在，则若存在，则若存在，则存在若存在，则存在分析：因为函数在处连续，所以。假若，则，这与存在极限矛盾！同理，也与存在极限矛盾！因此，必有

6、，即都是正确命题。关于(C)，根据，，且存在，所以也是正确命题。最后当然选剩下的。事实上，例如，尽管存在17但不存在导数！(18)设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主要部分为，则【】分析：因为微分就是函数增量的线性主要部分，根据假设，则(19)设函数在内具有二阶导数，且。令，则下列结论正确的是【】若，则数列必收敛若，则数列必发散若，则数列必收敛若，则数列必发散xyO123第(19)题图二第(19)题图一收敛发散分析：说明导数在区间内是增大的，即是下凸的。当时，如图一，可能收敛，也可能发散【当然也可以举出例子，不过没必要】，所以排除看

7、图二，猜想是。事实上，设，因为割线斜率是增大的，所以，即依此类推，则，因此(20)曲线的渐近线的条数为【】提醒：求渐近线时，要考虑到单侧极限！(21)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则【】分析：根据，排除，。再根据泰勒公式：17则，所以选(22)在柯西-黎曼积分中，正确的结论是【】若在区间上可积，则它在上必有原函数。若在区间上有原函数，则它在上必可积。若在区间上有无穷多个间断点，则它在上不可积。任意改变可积函数的有限个函数值，不会改变函数的可积性和积分值。(23)如第（23）题图，连续函数在区间与上的图形分

8、别是直径为的上、下半圆周，在区间与上的图形分别是直径为的下、上半圆周。设xyO-