高等数学07_讲义0501

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1、高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　一元函数积分学5.1　原函数和不定积分的概念　　　　一、原函数与不定积分的概念　　定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。　　例：，sinx是cosx的原函数。　　　　Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。　　原函数存在定理：　　如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使自考365（www.zikao365

2、.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，都有F＇（x）=f（x）。　　简言之：连续函数一定有原函数。　　问题：（1）原函数是否唯一？　　（2）若不唯一它们之间有什么联系？　　例：（sinx）＇=cosx　（sinx+C）＇=cosx　　（C为任意常数）　　关于原函数的说明：　　（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。　　（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）　　证∵[F（x）-G（

3、x）]＇=F＇（x）-G＇（x）　　=f（x）=f（x）=0　　∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）　　不定积分的定义：　　函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。　　,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。　　例：求。　　【答疑编号11050101】自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：　　例：求。　　【答疑编号11050102】　　解：　　　　积分

4、曲线　　例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。　　【答疑编号11050103】　　解：设曲线方程为y=f（x）,　　根据题意知　　即f（x）是2x的一个原函数。　　　　由曲线通过点（1，2）　　所求曲线方程为y=x2+1。　　函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。　　不定积分的性质　　自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　结论：微分运算

5、与求不定积分的运算是互逆的。5.2　基本积分公式　　实例　　启示能否根据求导公式得出积分公式？　　结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。　　基本积分表　　（1）；　　（2）；自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）；　　说明：　　　　　　简写为　　（4）；自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

6、　　　　（5）；　　（6）；　　（7）；　　（8）；　　（9）；　　（10）；　　（11）；　　（12）；　　（13）；　　例：求积分　　【答疑编号11050104】　　解：　　根据积分公式（2）自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　不定积分的性质　　（1）；　　证　　。　　∴等式成立。　　（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）　　（2）（k是常数，k≠0）　　例：求积分。　　【答疑编号11050201】　　解：　　　　自考3

7、65（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例：求积分。　　【答疑编号11050202】　　解：　　　　。　　例：。　　【答疑编号11050203】　　解：　　　　。自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例：；　　【答疑编号11050204】自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(

8、一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例：已知f（x）之一原函数为，求∫f＇（x）dx。　　【答疑编号11050205】　　【答