高等数学07_讲义0401

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1、高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　微分中值定理和导数的应用4.1　微分中值定理　　费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）　　则　　　　一、罗尔(Rolle)定理　　1.罗尔（Rolle）定理　　　如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。　　2.几何解释:　　在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是

2、水平的。　　　　例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。　　【答疑编号11040101】自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解满足　　在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，　　∵，取　　例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。　　【答疑编号11040102】自考365（www.zikao365.com）高等教育

3、自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二、拉格朗日(Lagrange)中值定理　　1.拉格朗日(Lagrange)中值定理　如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)　　结论亦可写成自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。　　2.几何解释:　　在曲线弧AB上至少有一点C

4、，在该点处的切线平行于弦AB。　　　　拉格朗日中值定理又称微分中值定理　　例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。　　【答疑编号11040103】自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　推论1　如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。　　例4（教材162页习题4.1，4题）、证明　　【答疑编号11040104】　　证　设　　自考365（www.zika

5、o365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又，　　即，　　　　推论2　假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。4.2　洛必达法则　　一、型及型未定式解法：洛必达法则　　1、定义　如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。　　例如,　　2、定理自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　

6、　　　　　　　　　　　　　　　　　　设　　（1）当x→0时，函数f(x)及F（x）都趋于零；　　（2）在a点的某临域内（点a本身可以除外），f＇(x)及F＇(x)都存在且F＇(x)≠0；　　（3）存在（或为无穷大）；　　那么。　　3、定义　这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。当x→∞时，以及x→a，x→∞时，该法则仍然成立。　　4、例题分析　　例1、求。　　【答疑编号11040201】　　解：原式。　　例2、求　　【答疑编号11040202】　　例3、求　　【答疑编号11040203】自考365（www.z

7、ikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4、求　　【答疑编号11040204】　　例5、求　　【答疑编号11040205】自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例6、　　【答疑编号11040206】　　例7（教材166页例4）、求。　　【答疑编号11040207】自考365（www.zikao365.com）高等教育自学考试网上辅导　　　　　　高等数

8、学(一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例8、求。　　【答疑编号110