数学分析论文已改new

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1、贵阳学院学院:数学与信息科学学院专业:数学与应用数学学号:090501401037姓名:史开端指导教师:姚廷富7探讨求极限的若干方法引言:极限是数学中一项常用的“工具”,是学习数学必要掌握的方法之一,下面我们就来探讨一下求极限的几种方法:夹逼原理、常用极限法、等价无穷小量与无穷大量法则、洛比达法则、泰勒公式替代法、定积分法、连续性法。求极限有很多方法,还有有关级数方面的求法等,在此不作讨论。1、夹逼原理求极限夹逼原理:设数列,,满足,且,则例题:求(1);(2)(3)解:(1)因为,即;而;所以由夹逼原理得:(2)因为,而,所以(3)设,则有,将不等式同乘以得;即有7而

2、因此2、常用极限法常用极限:(1);(2)例题:求(1);(2)解:(1)(2)又因为;所以3、等价无穷法求极限等价无穷小量:若,则称与是当时的等价无穷小量。记作当时,常用等价无穷小:(ⅰ);(ⅱ);(ⅲ);(ⅳ);(ⅴ)7例题:求(1);(2)解:(1)(2)4、洛比达法则求极限洛比达法则:设:(1)当时,函数及都趋于零;  (2)在点的去心邻域内,及都存在且;  (3)当时存在(或为无穷大),那么时。  再设:(1)当时,函数及都趋于零;  (2)当时及都存在,且;  (3)当时存在(或为无穷大),那么时。例题:求(1);(2)7解:(1)所以原式(2):故原式★注

3、:(1)每次在使用Hospital法则之前,务必考查它是否属于七种不定型,否则不能用。(2)一旦用Hospitol法则算不出结果,不等于极限不存在。例如:就是如此。这是因为Hospital法则只是充分条件,不是必要条件。(3)用Hospital法则求极限时,经常与等价无穷法联用。(4)型的Hospital法则使用时,只需检验分母趋向于无穷大即可,分子不趋向没有关系。5、泰勒公式求极限泰勒公式:若函数在点存在直至阶导数,则有,即令,上式变为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式*几个常用的(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式有:(不再一一证明)7例题:求(1);(2)解:(1)原式

4、(2)原式6、定积分的定义求极限定义:设在上可积,则有其中常取:(1)(2)(3)例题:求7解:设此和式可看作函数在上的定积分的一个黎曼和式。即将区间等分,介点取每个小区间的右端点,所以7、利用连续性求极限定义:若在点连续,则有例题:求解:由于初等函数在有定义的地方皆连续,所以原极限参考文献:[1].《数学分析》上册第五版华东师范大学数学系编高等教育出版社[2].《高等数学竞赛教程》(第二版)卢兴江、金蒙伟主编P6-P10[3].《数学分析中的典型问题与方法》(第二版)裴礼文主编P44-P467

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