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时间:2018-09-19
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1、讲授内容备注第十九讲3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式例15证明:当时,证已知,(,只有时,等号成立)在此式两端同时取上的积分,得再次取上的积分,得第三次取上的积分,得所以上式再在上的积分,得即再在上的积分,得例16设是上连续的凸函数.试证:,有证令,则3学时几何解释:10同理,令,则从而注意到与关于中点对称,又为凸函数,所以另一方面,由(1)式及的凸性例17设函数在上递增.试证:函数为凸函数.证在上递增,所以,为凸函数.10例18设,在上连续,且,在上有定义,并且有二阶导数,试证:证I(利用积分和)将区间等分,记,为凸函数.由詹禁定理,取,即令,得证II(利用公式)记10
2、则注意,在上式中,令,然后两边乘以,得在上取积分即其中§4.5不等式一、不等式及不等式1.不等式10设为任意实数,则(不等式)其中等号当且仅当与成比例时成立.证1(判别式法)上式是关于的二次三项式,保持非负,故判别式证II(配方法)因此,不等式成立.等号成立当且仅当,.证III(利用二次型)即关于的二次型,非负定,因此方法III可推广.10即2.不等式设在上可积,则若在上连续,其中等号当且仅当存在常数,使得时成立.(不同时为零)3.不等式的应用例1已知,在上连续,为任意实数.求证:证第一项应用不等式:同理(1)+(2):例2设在上有连续的导数,试证:证令则由,知不等式的积分形式称
3、为不等式10因此,例3设在上有连续的阶导数,且.求证:其中证先证明的情况.此时设在上有连续的导数,下证令由不等式:两端同时积分第二项积分值大于零.10两边同时开方:对一般情况,令例4设,在上连续,不恒为零,有正的下界.记试证:证只需证明存在. 先证单调增即10 再证有界.因为在上连续,所以使得故 既然单调有界,存在极限.二、平均值不等式基本形式:对任意个实数,恒有(即几何平均值算术平均值)其中等号成立当且仅当例5设正值函数在上连续.试证:证由条件知在上可积,将等分,作积分和1010
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