函数与导数交汇处命题的十种类型

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1、函数与导数交汇处命题的十种类型侯立刚【专题名称】中学数学教与学（高中读本）【专题号】G35【复印期号】2009年05期【原文出处】《理科考试研究》(哈尔滨)2009年1期第12～15页【作者简介】侯立刚，安徽灵璧中学(234200)。函数和导数都是高中数学的主干知识，导数是研究函数的重要工具，同时导数及其性质的应用也离不开函数的支撑。因此，以函数为载体、导数为工具，在函数与导数交汇处命题，始终是高考的热点。本文借助近年来的高考试题，分析依托导数研究函数性质的十大知识点。限于篇幅，题目的解答过程从略，读者可参考各试题汇编。    一、单调性    体现在两个方面：            ②当0

2、＜a＜1的，f(x)极小值为f(0)=-2，此时f(x)无极大值；    ③当a≤-2或-1≤a≤0或a≥l时，f(x)既无极大值又无极小值。    三、最值    闭区间上的连续函数一定有最值。若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求出f(x)在(a，b)内的极值并与f(a)、f(b)比较，可得函数f(x)在[a，b]上的最值。    题4　（2008浙江）已知a是实数，函数。    （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；    （Ⅱ）设g(a)为f(x)在区间[0，2]上的最小值，    （ⅰ）写出g(a)的表达式；    （ⅱ）求a的取值范围，使得-6≤g(a)≤-2。   

3、             答案　（Ⅰ）略。（Ⅱ）｛x｜-2≤≤0｝    九、函数应用    函数应用问题往往根据建立的数学模型，用导数求函数的最值。    题14　（2008江苏）如图1，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、PO，记排污管道的总长为ykm。    图1    （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：    ①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；    ②设OP=x(km)，将

4、y表示成x的函数关系式。    （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。        （Ⅱ）当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为时，铺设的排污管道的总长度最短。    题15　（2008湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为        (1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期。以i-1＜t＜i表示第i月份(i=1，2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？    （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）。

5、    答案　（Ⅰ）枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。    （Ⅱ）最大蓄水量是108.32亿立方米。    十、数列    数列是特殊的函数，若函数f(x)在[1，+∞）上是单调的，则数列｛f(n)｝在n∈N*上也具有相同的单调性。    ^