函数与导数中的特称命题与全称命题

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1、函数与导数中的特称命题与全称命题1．已知函数其中。（1）当时，判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数若总有成立，求实数m的取值范围。答案：解析：由，当时，在（）上单调递增。（2）由已知得，，其定义域为（），因为在其定义域内为增函数，所以即而，当且仅当x=1时，等号成立，所以（3）当a=2时，由得，或，当时，所以在（0，1）上，而“成立”等价于“（0，1）上的最大值不小于上的最大值”。又所以有：所以实数的取值范围是2．已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.（Ⅱ）当时，

2、在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。3.设函数(Ⅰ)当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.解：(Ⅰ)函数的定义域为.当时，令得.当时，当时，无极大值.4分（Ⅱ）5分当，即时，在上是减函数；当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得7分综上，当时，在定义域上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，当时，有最大值，当时，

3、有最小值.10分而经整理得由得，所以4．（2010辽宁理数）（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而故a的取值范围为（-∞，-2].……12分5.已知函数．（I）当时，求函数的单调区间；（I

4、I）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？（I）当时，，…………………………………2分令时，解得，所以在（0，1）上单调递增；……4分令时，解得，所以在（1，+∞）上单调递减．………6分（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o，所以．所以，．………………………………………………8分，，……………………………………………10分因为任意的，函数在区间上总存在极值，所以只需……………………………………………………12分解得．………………………………………………………14分6.

5、已知函数(a为实常数).(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.解析：（1）当时，，当，，故函数在上是增函数．…………………………………………………4分（2），当，．若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　………………………………………………6分若，当时，；当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．故．若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．……………………………………8分综上可知，当时，的最小值为1，相应的x

6、值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为．……………………………………………………………………10分（3）不等式，可化为．∵,∴且等号不能同时取，所以，即，因而（）………………………………………………12分令（），又，…………………14分当时，，，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是．………………………16分7.已知函数（1）求的单调区间；（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围．解：（1）---------2分若，则，所以此时只有递增区间（---------4分若

7、，当所以此时递增区间为：（，递减区间为：（0，-------------6分（2），设若在上不单调，则，-------------10分同时仅在处取得最大值，即可得出：----------14分的范围：8.已知函数．（Ⅰ）若函数在，处取得极值，求，的值；（Ⅱ）若，函数在上是单调函数，求的取值范围．21解：（Ⅰ），由，可得．（Ⅱ）函数的定义域是，因为，所以．所以要使在上是单调函数，只要或在上恒成立．……………………10分当时，恒成立，所以在上是单调函数；当时，令，得，，此时在上不是单调函数；当时，要使在上是单调函数，只要，即综上所述，的取值范围是．9.

8、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，a,bR．(Ⅰ)曲线C：y＝f(x)经过点P(1，2)，且曲线C在点P