绿化带灌溉问题模型的建立与分析

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中国矿业大学银川学院数学建模大赛绿化带灌溉问题论文A题队号：141队长名字：伏伟队员：李艺涵 绿化带灌溉问题模型的建立与分析摘要我国正日趋严重地受到水资源紧缺的制约，西北宁夏地区尤为突出，在供水不足，采用非充分灌溉时，如何在作物不同生育阶段、不同作物间科学合理地分配有限的灌溉水，使缺水造成的损失减少到最低程度，是节水灌溉管理的关键问题之一。作物-水模型是描述作物产量与水分供应时间和数量关系的数学表达，是实施有限水灌溉和优化配水的基础关键字：非充分灌溉绿化带节约水一、问题的概述水是人类宝贵的资源，社会的存在发展离不开水.但我国水资源现状不容乐观，是一个干旱缺水严重的国家,尤其是宁夏缺水更严重，土地沙化严重，灌溉用水占了很大一部分，实施节水灌溉对经济的发展有很大的积极意义。就全国来看，城市绿化灌溉水的浪费比较严重，灌溉用水量往往超过植物实际需水量，灌溉时间间隔以经验判断。考虑到季节性，灌溉区域重复以及时间间隔，水管长度，汲水井的位置等方面对灌溉用水的影响。本着节约成本的目的（以节约水为主要目的），以我院图书馆正南面广场绿化带为例(实际数据以自己测量为依据)，从以下几个方面来考虑问题。问题一：以图书馆前绿化带为例，采用滴灌方式，设置合理的汲水井个数及位置，分布水管，建立模型，使综合成本最小。问题二：针对学校内的所有绿化带，建立模型，提供一种合理灌 溉方式使综合成本最小。二、模型假设1.地理位置宁夏是中国水资源最少的省区，大气降水、地表水和地下水都十分贫乏。且空间上、下分布不均，时间上变化大是宁夏水资源的突出特点。宁夏水资源有黄河干流过境流量325亿立方米，可供宁夏利用40亿立方米。水能理论蕴量195.5万千瓦。水利资源在地区上的分布是不平衡的，绝大部分在北部引黄灌区，水能也绝大多数蕴藏于黄河干流。而中部干旱高原丘陵区最为缺水，不仅地表水量小，且水质含盐量高，多属苦水或因地下水埋藏较深，灌溉利用价值较低。2.土壤情况宁夏的银川以南地区分布的是斑状轻度盐化浅色草甸土,以北地区分布的是斑状中、强度盐化草甸土和浅色草甸盐土,在地势低洼地区盐土呈大面积分布.由于地形和地下径流流速的差异,盐分产生分异作用,形成的盐土类型较多,诸如蓬松盐土、潮湿盐土、草甸盐土、沼泽盐土、苏打盐土等,在封闭洼地还有白僵土.盐渍土盐份主要为氯化物硫酸盐和硫酸盐氯化物,其次是重碳酸盐的苏打盐土和白僵土.3.气象资料 银川属中温带大陆性气候，年平均气温8.5℃，日温差12-15℃，年平均日照时数2800-3000小时，是全国太阳辐射和日照时数最多的地区之一。年平均降水量203毫米，无霜期157天左右。主要气候　特点是：冬寒长、春暖快、夏热短、秋凉早，干旱少雨，日照充足，蒸发强烈，昼夜温差大等。问题一：假设忽略确定因素，只考虑灌溉问题影响因素，建立模型。问题一模型：基于prim算法的灌溉问题模型。三、模型思路首先将n个顶点看成n个孤立的连通分支（n个孤立点），并随意选取一个点当做起点。从起点出发，加入与已知点相连的最小权值最小而且与以选取的点不构成圈的边，直到形成连通图。以下是具体实现说明：对图形的预处理与上面的模型相同，可以得到一个0-1的边权矩阵，这里利用prim算法。其主要思路是：首先在边权矩阵中从左上开始找第一个权值为1的元素，可以确定这条边所连接的两个节点。然后找与这两个节点能直接相连的路径（在边权矩阵中横坐标为已经找到的节点标号所对应的元素）中第一个权值为1的元素，重复上面的步骤，最后即可得到需要的最优方案。与上面模型不相同的是，这种模型是在边权矩阵中的一部分进行寻找，而不是在整个边权矩阵中 进行寻找，所以在数据量较大时将会减少运算量，提高运算速度。具体步骤将在模型的建立中仔细说明。1、模型的建立及求解与前面的模型的处理相同，首先将原来的农田缩略图抽象成连通图，并根据该连通图的连接方式用矩阵输入。接下来我们将输入的数据用MATLAB程序（见附件二）运行。该程序即使基于prim算法的求解最小生成树的程序，总体来说这种算法算是一种动态规划问题，已知第k-1步的结果，并且知道第k步的各种方案，即可得到一种递推关系，而且该问题的初值条件是容易得到的，所以可以得出我们所要的结果。对于该模型来说，通过找边权矩阵中的最小的1的坐标可以得到最初连接的两块农田，就下来从这两块已经得到的农田出发，找出能与这两块农田相连的农田，重复上面的步骤，就可以得到连接农田的方案。该程序的运行结果与上面的模型相同。如图： 根据上面得到的连接方案可以画出连接图如图1所示如图12、模型的现实应用与前面模型的情况相同，由于农田的地理环境等条件有所差异，所以在不同的地点开凿灌溉渠的费用也不相同。接下来本文将处理这个问题。 首先将每天灌溉渠的价格表示出来，如图2图3此时经变换后得到的边权矩阵由前面的0-1矩阵变成了不同权值的对称矩阵，prim算法将在矩阵中找到权值最小的边，确定该边的两端节点，并从已经确定的两个节点出发，寻找能与这两个点直接相连的边中最小的一条，并再次确定下面得到的节点，反映到矩阵中，就是在已经确定的节点所对应的行中找其中的最小元素。重复之前的步骤，继续寻找与已经确定的节点直接相连的最小权的边，直到将所有的点都连接起来。这样既可得到最优连接方案。而这种算法比前面的kruskal算法的时间复杂度小，它只需找矩阵中一部分的最小值，而不是像kruskal算法一样，每次都要寻找整个矩阵中所有元素的最小值。将连接方案以矩阵的形式输入运行MATLAB程序后可得到如下结果 根据上面的连接方案可以画出下面的连接图，如图4图4按照之前的思路，这里应该考虑有向图的问题了，也就是上面所说的，由于地势高低不同的原因，造成灌溉渠水流方向不同其修建费用也不同。接下来本文将用prim算法解决这个问题。对于这种问题，模型将前面的无向图变为了有向图，首先给出随机 生成的开凿灌溉渠所需费用，以便本文对算法进行说明。如图5所示图5对于双向的连通图，prim算法将做一些变动：由于每两个节点都有两条连接方式，它们的起点与终点不相同，所以在算法找最小元素时，不仅仅要找已经确定的节点所在的行的最小元素，还要找其所在列的最小元素，表示要找的边是可以与已知节点相连而且不计方向的最小权值所对应的边。运行matlab程序可得到如下结果： 四、模型的建立与求解问题二：假设忽略条件问题，只考虑灌溉问题的因素。模型二：作物水模型的确认利用非充分灌溉试验得到的作物在不同处理下各生育阶段的土壤湿度及降雨资料，利用水量平衡方程计算出各生育阶段实际的作物腾发量,以充分灌溉00K1处理下的实际腾发量作为最大腾发量,分别与各试验处理的实际产量和组成一组试验数据。经过数学演绎的适当变换，均可化为多元线性回归方程，利用最小二乘法的原理求回归系数的最优解，从而求解各模型的敏感系数，对敏感指数进行回归检验、阶段分配分析。本设计采用EXCEL电子表格进行计 算。以下对模型确认中涉及到的原理、方法做一详细叙述：1、最小二乘法原理在实际问题中，从观察数据，i=1,2,3,…,N去预测函数的表达式，即根据给定的一组数据点去描绘曲线的近似图象。所给数本身不一定可靠，个别数据的误差甚至可能很大，但给出的数据很多，所以曲线拟合要从一堆看上去杂乱无章的数据中找出规律，设法构造一条曲线，反映所给数据点的总趋势，消除所给数据的局部波动。直线拟合中，对于所给数据点应尽可能的通过拟合直线，要求近似的有i=1,2,…,N,设i=1,2,…,N表示按拟合直线求得的近似值，一般地，它不同于实测值，两者之差，称为残差，残差的大小是衡量拟合好坏的重要。基于以下准则：来选取拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法。2、模型参数推求原理对于乘法或加法模型虽自变量结构形式不同，经过数学演绎的适当变换，均可化为多元线性回归方程，用上述最小二乘法原理求回归系数的最优解。假定因变量的估计值与多元自变量具有线性关系，则可以将各种加法和乘法模型转化为多元线性回归模型：(5-1)式中—回归系数代表水分敏感指标（或）；可用多元回归最优化方法求得。 对于本葵花作物非充分灌溉试验设计共有处理N组，其处理号为j=1，2，…，N，N即多元线性回归的方程组数。作物生育阶段划分为n个阶段，阶段序号i=1，2，…，n。n即所求参数的维（元）数，由此构成N组样品的n维求解问题。在N组处理的全面设计中，必定含有一组“湿处理”（充分灌溉），作为水分供应最佳状态用以观测生长极限值、达到目标，其余8组均为“干处理”（非充分灌溉），即包含有各个生育阶段（i）不同缺水程度的多个处理，作为劣态性（或称破坏性）试验的对比观测。为获得唯一可行解，应满足N>n+1。为获得最优解，应满足N>>n的约束条件。设非充分灌溉试验目标、观测j=N组处理（每组处理含3次重复），划分i=n个阶段，求得各阶段的与相应产量，共获得N组、n维观测数据列；由式（5-1），已设模型的Y与各自变量具有线性关系，即（5-2）式中Y——实际观测值Y的估计值，对于的估计值为。由各个自变量的观测值求各的估计值，为（5-3） 展开即如下多元线性回归方程组：（5-4）估计值与实际观测之间总是具有误差，则有以下误差方程组：（5-5）若获得方程(5-3)的总体估计中最接近，利用最小二乘法原理使满足总误差Q最小：（5-6）即应满足方程组(5-5)中的各个方程(共N个)，先现在等式左、右平方而后相加，再分别令：(i=1,2,…,n)（5-7）可得到回归系数的方程组式(5-8),称正规方程组。即 （5-8）式中——即的简写，表示对所有处理（样品）N的求和；——第i个自变量所有样品观测（n个）的平均值，即——第i个自变量的第j组样品观测值；——因变量Y的第j组(或称个)样品的观测值；——因变量Y所有样品(共N个)观测值的平均值，即观测方程组（5-8）的系数，可知各方程求和号内各个乘积的两个因子的排列具有非规则整齐特点。方程组左边的各个乘积之和组成一个的方阵；主对角线上的元素是各个自变量的离差平方和，即；主对角线元素以外的元素是各个自变量的离差乘积之和，即，其中i和k各表示一个自变量。方程右边的各个乘积之和，分别是各个自变量与因变量的离差乘积之和，即 。若令表示方程组左边方程的各个元素，当时，，k=1,2,…,n。令，i=1，2，…,n。则正规方程组(5-8)可改写成常见的多元线性方程组即：（5-9）或写成矩阵方程：（5-10）式中L——各自变量的离差矩阵，为对称阵；——正规方程组的未知向量，即多元回归方程的系数向量；——是各自变量和因变量Y的离差乘积之和组成的向量。正规方程组式（5-8）和式（5-9）或式（5-10）即多元线性回归基本方程组，一般多元线性回归问题即此类方程的求解。由N个方程组的n个变量的原问题，至此变成n个自变量和n个方程数的正规方程求解问题——标准问题，即可用熟知的高斯消去法原理，列主元素迭代求解。即可获得作物各生育阶段的敏感系数。 3、参数显著性检验求得的参数需判别其自变量对因变量Y的影响是否显著。换言之用的估计值Li作系数的回归方程对任何一种田间试验结果是否有意义，对其统计测验的有效性评价称显著性检验。对多元线性回归问题，因有多个自变量，相关分析比较复杂，应采用全相关系数（又称复相关系数）R表征，定义为同时考虑所有自变量（xi）与因变量（Y）的总相关系数；或将任一自变量（xi+1）作因变量，而将其余的自变量（xi）和原因变量（Y）都作为自变量所求的全相关系数。计算公式见表24。表24全相关系数R计算式λi（或Ki）显著性检验Yj回归方程显著性检验R的显著性检验，检查应具有两个自由度的全相关系数R检验表。第一个自由度f1=n，即影响阶段或影响因素自变量（）的个数。第二个自由度f2=N-1-n，即样本单元数减1再减去自变量数。可用F检法判别，计算公式见式5-11。（5-11）式中——称大变量（分母）的自由度；——称小变量（分子）的自由度；再查F表得一定条件下的临界值，比较有以下几种情况： 当可认为的自变量对因变量的影响显著，或回归方程（5-3）的总回归效果有意义。故多元回归方程的有效性显著（可信）。当F<则认为影响不显著或回归方程不可信（无意义）。并用的不同界限值区别显著性程度。复相关系数R值和相关关系的显著性F值，可用下式进行计算互换：（5-12）4、M.E.Jensen模型用阶段相对腾发量作为自变量与相应阶段（i）敏感性幂指数表征的M.E.Jensen（1968）模型。（5-13）式中的为作物不同阶段缺水对产量的敏感性指数（幂指数型），i=1,2,…,n，生育阶段划分序号。由于ETa/ETm<1.0，一般，故值越大，将会使连乘后的Ya/Ym愈小。即表示对产量的影响愈大；反之愈小，会使Ya/Ym愈大，即表示对产量的影响愈小。因此，对于Jensen模型中的大者称敏感性大的生育阶段，小者称敏感性小的生育阶段。成为乘法模型的关键性参数。为将其转换为回归模型，将模型左右两边同时取自然对数，并且 令，，得到：具体计算过程同5.2.4中所讲，为了尽快得到各个参数，我们可以利用MicrosoftExcel计算。五、模型的评价与推广基于prim算法的灌溉问题模型。优势：算法易于理解，程序的时间复杂度较小。劣势：当数据较多时，此算法将占用较大的内存。根据查阅资料 ，kruskal算法的时间复杂度为  而prim算法的时间复杂度为  所以显然当n值较大，即数据较多时prim算法的时间复杂度较小。本文通过建立简单优化模型，对于绿地浇灌过程当中如何节省水资源这一问题进行了基本的回答，通过将对整块绿地的浇灌问题转化为对相同的每一小块的绿地的浇灌问题，使问题的求解转变为在一块小绿地上如何布局水龙头并进行优化的问题，并考虑了几种可能的布局方式，进行了相关的优化。得出的结果是比较好的。但是本文并没有对如何进行布局的选取以及选取该种方式的布局的原因给出回答，导致所建立的模型仅仅能够对选取的布局方式进行考虑，这一点需要改进的地方。参考文献 算法导论，Thomas.H.Cormen等，机械工业出版社；