2016新人教a版高中数学必修一1.3.1第1课时函数的单调性学案

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1、1．3　函数的基本性质1．3.1　单调性与最大(小)值第1课时　函数的单调性[学习目标]　1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．[知识链接]1．x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0；2．当x＞2时，x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)＞0；3．函数y＝x2－3x＋2的对称轴为x＝.[预习导引]1．定义域为I的函数f(x)的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性

2、，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．解决学生疑难点　　要点一　函数单调性的判定与证明例1　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．证明　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x10，x1＋x2<0，xx>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2＋x1>0，xx>0.∴f(x1)－

3、f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．规律方法　利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1

4、＝.∵x2＞x1＞－1，∴x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．要点二　求函数的单调区间例2　画出函数y＝－x2＋2

5、x

6、＋1的图象并写出函数的单调区间．解　y＝即y＝函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．规律方法　1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确．2．函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域．3．一个函数出

7、现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．跟踪演练2　作出函数f(x)＝　的图象，并指出函数的单调区间．解　f(x)＝　的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．要点三　函数单调性的简单应用例3　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．解　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必

8、须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.规律方法　1.二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．2．已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法．跟踪演练3　(1)例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？解　由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)

9、2a－1，即a<.②由①②可知，00，则必有(　　)A．函数f(x)先增后减B．f(x)是R上的增函数C．函数f(x)先减后增D．函数f(x)是R上的减函数答案　B解析　由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a

10、)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]答案