高中数学 1.3.1第1课时函数的单调性学案 新人教a版必修1

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1、1．3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性[学习目标]1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点．[知识链接]221．x－2x＋2＝(x－1)＋1＞0；22．当x＞2时，x－3x＋2＝(x－1)(x－2)＞0；233．函数y＝x－3x＋2的对称轴为x＝.2[预习导引]1．定义域为I的函数f(x)的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝

2、f(x)的单调区间．解决学生疑难点要点一函数单调性的判定与证明1例1求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．2x证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x10，x1＋x2<0，x1x2>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

3、22x1x222∵00，x2＋x1>0，x1x2>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．1∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．2x规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1

4、上为减函数．x＋1证明任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2.2－x12－x23x2－x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.x1＋1x2＋1x1＋1x2＋1∵x2＞x1＞－1，∴x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．要点二求函数的单调区间2例2画出函数y＝－x＋2

5、x

6、＋1的图象并写出函数的单调区间．2－x＋2x＋1，x≥0，解y＝2－x－2x＋1，x＜0，2－x－1＋2，x≥0，即y＝2－x＋1＋2，x＜0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[

7、0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．规律方法1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确．2．函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域．3．一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．－x－3，x≤1，跟踪演练2作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．2x－2＋3，x＞1－x－3，x≤1，解f(x)＝的图象如图所示．2x－2＋3，x＞1由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．要点三函数

8、单调性的简单应用2例3已知函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．2解∵f(x)＝x－2(1－a)x＋222＝[x－(1－a)]＋2－(1－a)，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.规律方法1.二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．2．已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法．跟踪演练3(1)例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数

9、”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？解由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)2a－1，即a<.②32由①②可知，0