高中数学 1.3.1第1课时函数的单调性学案 新人教a版必修1

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1、1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性[学习目标]1.了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念,能准确理解这些定义的本质特点.[知识链接]221.x-2x+2=(x-1)+1>0;22.当x>2时,x-3x+2=(x-1)(x-2)>0;233.函数y=x-3x+2的对称轴为x=.2[预习导引]1.定义域为I的函数f(x)的增减性2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格)的单调性,区间D叫做y=

2、f(x)的单调区间.解决学生疑难点要点一函数单调性的判定与证明1例1求证:函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数.2x证明对于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x10,x1+x2<0,x1x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

3、22x1x222∵00,x2+x1>0,x1x2>0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).1∴函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数.2x规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下:(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1

4、上为减函数.x+1证明任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2.2-x12-x23x2-x1则f(x1)-f(x2)=-=.x1+1x2+1x1+1x2+1∵x2>x1>-1,∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,因此f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-1,+∞)上为减函数.要点二求函数的单调区间2例2画出函数y=-x+2

5、x

6、+1的图象并写出函数的单调区间.2-x+2x+1,x≥0,解y=2-x-2x+1,x<0,2-x-1+2,x≥0,即y=2-x+1+2,x<0.函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[

7、0,1],单调减区间为(-1,0),(1,+∞).规律方法1.作出函数的图象,利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间,但要注意图象一定要画准确.2.函数的单调区间是函数定义域的子集,在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接.-x-3,x≤1,跟踪演练2作出函数f(x)=的图象,并指出函数的单调区间.2x-2+3,x>1-x-3,x≤1,解f(x)=的图象如图所示.2x-2+3,x>1由图象可知:函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+∞).要点三函数

8、单调性的简单应用2例3已知函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.2解∵f(x)=x-2(1-a)x+222=[x-(1-a)]+2-(1-a),∴f(x)的减区间是(-∞,1-a].∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.∴1-a≥4,解得a≤-3.规律方法1.二次函数是常见函数,遇到二次函数后就配方找对称轴,画出图象,会给研究问题带来很大的方便.2.已知函数单调性求参数的取值范围,要注意数形结合,采用逆向思维方法.跟踪演练3(1)例3中,若将“函数在区间(-∞,4]上是减函数

9、”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a为何值?解由例3知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a],∴1-a=4,a=-3.(2)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)2a-1,即a<.②32由①②可知,0

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