数学人教b必修1第二章2.4　函数与方程

《数学人教b必修1第二章2.4　函数与方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.4　函数与方程1．函数的零点(1)概念一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．谈重点对函数零点定义的理解(1)函数的零点可以理解为一个函数的图象与x轴的交点的横坐标．(2)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝x2＋4，y＝3，y＝3x2＋1等都没有零点．(2)意义方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．求函数的零点就是求相应的方程的根，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．(3)二次函数y＝

2、ax2＋bx＋c(a≠0)的零点与相应的一元二次方程的根Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＝0(a＞0)x1＝，x2＝x1＝x2＝－方程无实根y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象零点个数2个1个二重零点0个Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)(或(x2,0))无[来源:数理化网]例1－1】函数f(x)＝x4－x的零点是(　　)A．0B．0,1C．0,1，－1D．无穷多个解析：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，由x4－x＝0，得x(x3－1)＝0，故x＝0或x＝1.因此，函数f(x)＝x4－x有2个零点

3、，分别是0,1.答案：B点技巧函数零点与方程解的关系求函数f(x)的零点时，可考虑解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的零点．方程f(x)＝0有解则函数有零点．方程f(x)＝0无解则函数无零点．【例1－2】已知函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)A．a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤1解析：由函数的零点与方程的解的关系可知，若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则方程x2＋2x＋a＝0没有实数解，即Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.[来源:www.shulihua.net]答案：B2．零点存在性的判断方法(1)如果函数y＝f(x)在一

4、个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)＜0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.(2)若函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则这样的零点为变号零点；(3)若函数f(x)的图象通过零点时没有穿过x轴，则这样的零点为不变号零点．(4)二次函数零点的性质①当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号；②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．谈重点如何理解零点的判断方法1．当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在闭区间[a，b]上是不间断的；②f(a)f(b)＜0时，才能判定函数y＝f(x)在

5、区间(a，b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解，这两个条件缺一不可，也就是说，当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上是间断的，或不满足f(a)f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点，相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内可能有实数解，也可能没有实数解．例如，二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上图象是不间断的，而f(－2)f(4)＞0，但是函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]内有两个零点－1和3，相应的方程x2－2x－3＝0有两个实数解x＝－1或x＝3；又如，分段函

6、数f(x)＝在区间[－1,1]上有f(－1)f(1)＝(－4)×2＜0，但是其图象在区间[－1,1]上是间断的，函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．在这里所说的“不间断的”是相对于某个区间而言，当f(a)f(b)＜0时，只要函数f(x)在[a，b]上的图象是不间断的，则函数在(a，b)内就存在实数解．也就是说，“不间断的”只要在区间[a，b]上满足即可．2．函数零点的判断方法指出了函数零点和相应方程实数解的存在，并不能判断具体有多少个零点，多少个实数解．【例2－1】函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必在的区间是(　　)A．[－2,1]B．C．D．解析

7、：由于f(－2)＜0，f(4)＞0，＝f(1)＜0，，，[来源:www.shulihua.net]所以零点在区间内．答案：D【例2－2】已知函数f(x)＝x＋－3，则f(x)＝0在区间(1,3)内(　　)A．恰有一个解B．恰有两个解C．至少有一个解D．无解解析：因为f(x)＝x＋－3的图象在区间[1,3]上是连续不间断的，且在[1,3]上是递增的，f(1)f(3)＝(－1)×＝－＜0，所以f(x)＝x＋－3在区间(1,3)内恰有一个零点，即f(x)＝0在区间(1,3)