数学题型专题--填空题的解法

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1、填空题的解法1.内容概要：填空题只填结果而不要过程，这个结果可以象做解答题那样，由逻辑推理，计算而得到（演绎推理）.但由于不要过程，也可将一般情形特殊化后再求结果（类比推理)，还可从个别事实中归纳出一般性的结论（归纳推理），所以解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫巧；解题的要领是：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.常用的方法有：①直接法，②特例法，③合理猜想法，④图象法.2.典例精析：一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质

2、、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.例1：(08四川延考)已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为.【解析】由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结，则由三垂线定理，设，则，，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值.例2.（08年江苏）若，，则的最大值为.【解析】由于是定值，为求其面积的最大值，只须求出顶点到边的距离的最大值即可．而，说明点是运动变化的，那么它的轨迹是什么呢？到此我们的思维“进入了”解析几何的领域.如图1，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，由题意不妨设点在第一象限（），则由，得，即.∴当时，，此时，所以的最大值为.

3、【点评】本题直接用“形”有一定的难度，若利用“数”运算，建立直角坐标系求解，则问题利于解决．这正好体现出“数形结合”思想，也进一步验证了华罗庚教授的“数缺形时少直观，形少数时难入微”的数学思维典语．二、特殊化法一个结论在一般情形下成立，在特殊情形下必成立。填空题只要结果，不要过程，所以当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可将填空题中的一般情形特殊化（将图形、图形的位置特殊化或给字母赋于特殊值等)再求解，这种解填空题的方法，叫特殊化法。凡在一般情形下探求结论的填空题，都可用特例法。例3.（07年海南、宁夏）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面

4、为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则___________.【解析】由于所求的为定值，所以可将三棱柱特殊化为直三棱柱.又三棱锥、四棱锥的底面边长和侧棱都相等，所以取三棱柱为各棱长都相等的正三棱柱.设正三棱柱的各棱长为，则，，∴.例4.（07年江西）已知数列对于任意，有，若，则．【解析】由题意，得，，，，，∴，从而应当填.【点评】我们知道，在中，取，得；取，得，等等．这种取特殊值的方法，显示是由一般到特殊的思维方式．事实上，本题的数列当中，隐含了子数列是等比数列，你能写出一般的通项公式吗？例5.（08年全国Ⅰ）在中

5、，，．若以，为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．【解析】设，，则显然半焦距，.∵，∴.由椭圆定义，得，∴，故.【点评】本题以三角形为载体考查椭圆的有关知识，一般先设，由求出(中含有参数)，然后利用椭圆的概念即可求出离心率，这属常规解法．本解答取，，解题思路与常规方法一样，但是由于将取成常数，计算量降低了，这种解题方法属赋特殊值法，在一定程度上能够简化运算，在复习备考中应该重视这种解题方法．三、合理猜想法合理猜想，可以从特殊情形中发现规律，得出一般的正确结论.合理猜想法多用于探索规律的一类题.例6.(08年湖北)观察下列等式：……………………………………可以推测，当（）时，，，________

6、__，.【解析】观察各个等式右边最高次项的系数为：，，，，……，；各个等式右边次高次项的系数为：，，，，……，；第三高次项的系数为：，()，（），()，……，归纳得出；各个等式右边第四高次项的系数为：，，，，……，归纳得出.【点评】此题着重考查学生的观察、归纳、猜测能力以及思维的敏捷性、灵活性．它要求学生善于根据问题的结构特征，从众多的数学信息中提取、挖掘出有效的信息，灵活地运用有关的知识，映衬出相应的意象，找出有效的突破口，从而挖掘规律，发现规律，应用规律．例7.(08年北京)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，表示非负实数的整数部分

7、，例如，.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为________；第2008棵树种植点的坐标应为________．【解析】①当时,,则,解得；②当时,,，则,解得；③当时,,则,解得；④当时,,，则,解得；…………，如此类推。如通过观察、归纳总结得出一般的规律为：当（）时，第棵树种植在点为，于是当时，，从而第2008棵树种植点的坐标应为.【点评】此题是将周期数列加以变更、迁移、整合而成，有创意，有新意