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《数学题型专题--应用性问题的解法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、应用性问题的解法1.内容概要:高考对数学应用和实践能力的考查要求是:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题;能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;应用相关的数学方法解决问题并加以验证,并能用数学语言正确地表述、说明。解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现,反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的试卷,突出新增加的向量,概率,导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的,除
2、以概率为模型之外,建立函数,数列,三角,曲线等模型解决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.2.典例精析:类型一:函数应用题例1:(2008年湖北卷理科)水库的蓄水量随时间而变化,现用表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于的近似函数关系式为(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份(),同一年内哪几个月份是枯水期?(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水
3、量(取计算).分析:本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.解析:(Ⅰ)①当时,,化简得,解得,或,又,故.②当时,,化简得,解得,又,故.综合得,或;故知枯水期为1月,2月,3月,11月,12月共5个月.(Ⅱ)(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.由V′(t)=令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时,V′(t)与V(t)的变化情况如下表:t(4,8)8(8,10)V′(t)+0-7V(t)极大值由上表,V(t)在t=8时取得最大值V(8
4、)=8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米类型二:数列应用题例2:(2007年安徽卷理科)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)a-1,第二年所交纳的储备金就变为a2
5、(1+r)a-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.(Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;(Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列.分析:本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.解析:(Ⅰ)我们有.(Ⅱ),对反复使用上述关系式,得,①在①式两端同乘,得②②①,得.即.如果记,,则.其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列.类型三:其他类型
6、的应用题例3:(2008年湖南卷理科)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=,)且与点A相距10海里的位置C.(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);7(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.解:(I)如图,AB=40,AC=10,由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为(海里/小
7、时).(II)解法一如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是B(x1,y2),C(x1,y2),BC与x轴的交点为D.由题设有,x1=y1=AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E(0,-55)到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.解法二:如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得,==.从而在中,由正弦定理得,AQ=由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15
8、.过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.7在Rt中,PE=QE·sin=所以船会进入警戒水域.3、知识整合1.求解应用题的一般步骤是(四步法):(1)、读题:读懂和深刻理解,译为数学语言,找出主要关系;(2)、建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题;(3)、求解:化