高考数学复习：题型解法训练之探索性问题的解法

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1、高考题型解法训练专题十二探索性问题的解法专题十二探索性问题的解法试题特点探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西.问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手.近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；(4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个

2、部分出发，探究问题的相应变化.2007年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新.专题十二探索性问题的解法试题特点专题十二探索性问题的解法应试策略问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征,从探索性问题的解题过程来看,没有确定的模式,可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高.探索性问题的常见解法有：(1)从最简单、最特殊的情况出发,有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格

3、证明；(2)假设结论存在，若推证无矛盾，则结论确实存在,若推出矛盾，则结论不存在；(3)使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件.专题十二探索性问题的解法考题剖析1.（2007·上海市新中第一考试）（1）证明：当a＞1时，不等式a3+＞a2+成立.（2）要使上述不等式a3+＞a2+成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由;（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明.专题十二探索性问题的解法考题剖析［解析］（1）证明：a3+－a2－=(a－1)(a5－1),∵a＞1，∴(a－1)(a5－1)＞0，∴原不等式成立

4、（2）∵a－1与a5－1同号对任何a＞0且a≠1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a≠1专题十二探索性问题的解法考题剖析（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a≠1，m＞n＞0，则有am+＞an+证明：左式－右式=am－an+－=an(am－n－1)－(am－n－1)=(am－n－1)(am+n－1)若a＞1，则由m＞n＞0am-n＞0,am+n＞0不等式成立；若0＜a＜1，则由m＞n＞00＜am－n＜1,0＜am+n＜1不等式成立专题十二探索性问题的解法考题剖析［点评］这是一道类比研究探索结论的问题.阅读理解原有结论、观察规律，然后将命题增加元素、增添次数等方式进行拓

5、展，这是从特殊到一般的研究问题的方式，也是探索型学习的一种常见方式.专题十二探索性问题的解法考题剖析2.（2007·上海市十一所实验示范校联考）我们把数列{}叫做数列{an}的k方数列（其中an＞0，k，n是正整数）,S(k，n)表示k方数列的前n项的和.（1）比较S（1，2）·S（3，2）与［S（2，2）］2的大小；（2）若{an}的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求{an}的k方数列通项公式;（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{an}的k方数列进行研究,写出一个不是常数数列{an

6、}的k方数列关于S（k，n）的恒等式,并给出证明过程.专题十二探索性问题的解法考题剖析［解析］（1）S（1，2）=a1+a2,S(3,2)=+，S(2,2)=+∴S（1，2）·S（3，2）－［S（2，2）］2=(a1+a2)(a31+a32)－(a21+a22)2=a1a32+a2a31－2a21a22=a1a2(a1－a2)2∵an＞0,∴S(1,2)·S(3,2)≥［S(2,2)］2（2）设an－an-1=d，－=p则d(an+an－1)=p①d(an+1+an)=p②∴②－①得2d2=0，∴d=p=0an=an－1∴－=0∴=ak专题十二探索性问题的解法考题剖析专题十二探索性问题的

7、解法考题剖析（3）当an=n时，恒等式为［S（1，n）］2=S（3，n）证明：［S(1,n)］2=S(3,n)［S(1,n－1)］2=S(3,n－1)(n≥2,n∈N*)相减得：an［S(1,n)+S(1,n－1)］=∴［S(1,n)+S(1,n－1)］=［S(1,n－1)+S(1,n－2)］=相减得：an+an－1=－,an＞0an－an－1=1,a1=1∴an=n［点评］本题主要考查等差数列、数列求和等数列基本知识，是一道结论型