高中数学 第1章 解三角形章末知识整合 苏教版必修5

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1、【金版学案】2015-2016学年高中数学第1章解三角形章末知识整合苏教版必修5题型1　利用正、余弦定理解三角形　解答下列各题：(1)在△ABC中，若A＝30°，a＝，b＝2，求B；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，求A.分析：已知三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角，根据问题条件可能出现唯一解、两解、无解的情况，解题时一定要根据问题条件，准确判定．解析：(1)根据正弦定理，有＝，即sinB＝，得sinB＝＝.∵aA＝30°，B为锐角或钝角．即B＝4

2、5°或135°.(2)由sinB＋cosB＝得sin＝1，∴B＝.由正弦定理＝，得sinA＝，又a＜b，∴A＜B.∴A＝.►归纳拓展已知两边和其中一边的对角解三角形，一般用正弦定理，但此时三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角，A>B则sinA>sinB”等关系来判定，也可以结合几何图形帮助理解记忆．具体模式如图所示，关键是比较bsinA与a和b的大小．当A为锐角，且bsinA＝a时，一解，bsinA>a，无解，bsinA＜a，两解，a≥b时一解，至于A＝90°，A>90°，情况较易．

3、►变式迁移1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c为(B)A．1　　　　　　　　　　　B．2C.－1D.解析：由正弦定理＝，∴sinB＝＝＝.又∵a>b，∴A>B.∴B为锐角．∴B＝，于是C＝.∴△ABC为直角三角形．∴c＝＝2，故选B.　例2(1)在△ABC中，a＝m，b＝n，c＝，求C；(2)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosC＝，求c及最大角的余弦值．分析：(1)为△ABC中已知三边求一角，直接用余弦定理cosC＝求解即可．(2)为△ABC中已知两边及其夹角余弦求第三边，用c＝求

4、最大角的余弦，不难想到“大边对大角”．解析：(1)由余弦定理得cosC＝，将a，b，c的值代入上式，得cosC＝＝－.∵0°a>c，∴在△ABC中，B最大．∴cosB＝＝＝－.►归纳拓展余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角；三是正、余弦定理的综合应用，如已知三角形的两边及其

5、一边的对角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理来解三角形．►变式迁移2．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于(D)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.解析：由正弦定理＝和2asinB＝b可得2sinAsinB＝sinB，即sinA＝，又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝.题型2　三角形形状的判断　例3在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋

6、sinC＝1，试判断△ABC的形状．分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状．解析：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得cosA＝＝－，∴A＝120°.(2)方法一　由(1)，B＋C＝60°，B＝60°－C，由sinB＋sinC＝1，得sin(60°－C)＋sinC＝1，即sin60°cosC－cos60°sinC＋sinC＝1，即sin(C＋60°)＝1，而0°＜C＜60°，∴C＝30°.故B＝30°，∴△ABC为等腰钝角三

7、角形．方法二　由(1)b2＋c2＋bc＝a2得sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝sin2A，即(sinB＋sinC)2－sinBsinC＝，∴sinBsinC＝.与sinB＋sinC＝1联立，解得sinB＝sinC＝，而0°＜B，C＜60°，∴B＝C.∴△ABC为等腰钝角三角形．►归纳拓展要注意正弦的多值性，否则可能漏解．另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解．在解三角形时的常

8、用结论有：(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA