2019-2020年高中数学 第2章 数列章末知识整合 苏教版必修5

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1、2019-2020年高中数学第2章数列章末知识整合苏教版必修5题型1　求数列的通项公式一、观察法　写出下列数列的一个通项公式：(1)1，－7，13，－19，25，…；(2)2，，，，，…；(3)，，，，2，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，….分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系．解析：(1)原数列的各项可看成数列{an}：1，－1，1，－1，…与数列{bn}：1，7，13，19，25，…对应项相乘的结果．又an＝(－1)n＋1(n∈N*)，bn＝1＋6(n－1)＝6n－5(n∈N*)．故原数列

2、的一个通项公式为cn＝(－1)n＋1(6n－5)(n∈N*)．(2)原数列可改写成：1＋，2＋，3＋，4＋，….故其通项公式为an＝n＋(n∈N*)．(3)这个分数数列中分子、分母的规律都不明显，不妨把分子变成4，然后看分母，从而有，，，，….分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为an＝(n∈N*)．(4)注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1，故它可改写成：1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，….所以原数列的通项公式为an＝n＋＋(n∈N*)．►归纳拓展(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键．(2)由数列的前

3、n项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5，0，－5，0，5，…的通项公式可为5cos(n∈N*)，也可为an＝5sin(n∈N*)．(3)已知数列的前n项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列．如{(－1)n}，{n}，{2n－1}，{2n}，{2n－1}，{n2}，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式．►变式迁移1．写出下列数列的一个通项公式．(1)1，－，，－，…；(2)，，2，2，…；(3)1，3，6，10，15，…；(4)1，－4，7，－10，13，….解析：(1)an＝(－1)n＋1(n∈N*)．(2)原数列可写成，，

4、，，…，易得an＝(n∈N*)．(3)∵3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，…，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N*)．(4)∵1，4，7，10，13，…组成1为首项，3为公差的等差数列，易得an＝(－1)n＋1(3n－2)(n∈N*)．二、利用an＝求an　例2设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．分析：由Sn与an的关系消去Sn(或an)，转化为an(或Sn)的递推关系求解．解析：∵Sn＝(an－1)，∴当n＝1时，S1＝a1＝(a1－1)，解得a1＝3.

5、当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝3，∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝3a1＝9.∴n≥2时，an＝9×3n－2＝3n.显然n＝1时也成立．故数列的通项公式为an＝3n(n∈N*)．►归纳拓展已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1时Sn－1＝S0，而与前n项和定义矛盾．可见由an＝Sn－Sn－1所确定的an，当n＝1时的a1与S1相等时

6、，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为an＝►变式迁移2．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求{an}的通项公式．解析：(1)当n＝1时，T1＝2S1－1，而T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，解得a1＝1.(2)n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1.∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，①Sn＋1＝2Sn＋2n＋1.②②－①得an＋1＝2an＋2，即an＋1＋2＝2(an＋2)，亦即＝2.a1＋2＝3，a

7、2＋2＝6，＝2，∴{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列．∴an＋2＝3·2n－1，故an＝3·2n－1－2(n∈N*)．三、叠加法　例3已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．(1)求a2，a3；(2)证明：an＝(n∈N*)．分析：已知a1，由递推公式可以求出a2，a3，因为an＝3n－1＋an－1属于an＋1＝an＋f(n)型递推公式，所以可以用叠加法求出an.(1)解析：∵a1＝1，∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.(2)证明：由已知an－an－1＝3n－1，令n分别取2，3，4，…，n得a2－a1＝31，a

8、3－a2＝32，a4－a3＝33，…an－an－1＝3n－1，以上