高中数学(必修五,苏教版)章末知识整合第1章 解三角形.pdf

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1、题型1应用正余弦定理解三角形解答下列各题：(1)在△ABC中，若A＝30°，a＝2，b＝2，求B；(2)(20XX年山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，求A.分析：已知三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角，根据问题条件可能出现唯一解、两解、无解的情况，解题时一定要根据问题条件，准确判定．ab解析：(1)根据正弦定理，有＝，sinAsinBbsinA2sin30°2即sinB＝，得sinB＝＝.a22∵aA＝30°，B为锐角或钝角．即B＝45°或135°.π

2、π(2)由sinB＋cosB＝2得sinB＋＝1，∴B＝，44221由正弦定理＝，得sinA＝，sinAπ2sin4π又a＜b，∴A＜B，∴A＝.6►归纳拓展已知两边和其中一边的对角解三角形，一般用正弦定理，但此时三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角，A>B则sinA>sinB”等关系来判定，也可以结合几何图形帮助理解记忆．具体模式如图，关键是比较bsinA与a和b的大小．当A为锐角，且bsinA＝a时，一解，bsinA>a，无解，bsinA＜a，两解，a≥b时一解，至于A＝90°，A>9

3、0°，情况较易．►变式迁移1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知Aπ＝，a＝3，b＝1，则c为()3A．1B．2C.3－1D.3ab解析：由正弦定理＝，sinAsinBπ1×sinbsinA31∴sinB＝＝＝.a32又∵a>b，∴A>B，∴B为锐角，ππ∴B＝，于是C＝，62∴△ABC为直角三角形，∴c＝a2＋b2＝2，故选B.答：B(1)在△ABC中，a＝m，b＝n，c＝m2＋n2＋mn，求C；13(2)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosC＝，求c及最大角的余弦14值．分析：(1)为△ABC中已知三边求一角，直接用余

4、弦定理cosCa2＋b2－c2＝求解即可．2ab(2)为△ABC中已知两边及其夹角余弦求第三边，用c＝a2＋b2－2abcosC求最大角的余弦，不难想到“大边对大角”．a2＋b2－c2解析：(1)由余弦定理得cosC＝，2ab将a，b，c的值代入上式，m2＋n2－m2－n2－mn1得cosC＝＝－.2mn2∵0°a>c，∴在△ABC中，B最大．a2＋c2－b272＋32－821∴cosB＝＝＝－.2ac2×

5、7×37►归纳拓展余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角；三是正、余弦定理的综合应用，如已知三角形的两边及其一边的对角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理来解三角形．►变式迁移2．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于()ππππA.B.C.D.12643ab解析：由正弦定理＝和2asinB＝3b可得2sinAsinBsinAsinB3＝3si

6、nB，即sinA＝，2π又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝.3答案：D题型2三角形形状的判断(20XX年辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状．解析：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，b2＋c2－a21由余弦定理得cosA＝＝－，∴A＝120°.2bc2(2)解法

7、一：由(1)，B＋C＝60°，B＝60°－C，由sinB＋sinC＝1，得sin(60°－C)＋sinC＝1，即sin60°cosC－cos60°sinC＋sinC＝1，即sin(C＋60°)＝1，而0°＜C＜60°，∴C＝30°.故B＝30°，∴△ABC为等腰钝角三角形．解法二：由(1)b2＋c2＋bc＝a2得sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝sin2A，3即(sinB＋sinC)2－sinBsinC＝，41∴sinBsinC＝，41与sinB＋sinC＝1联立，解得sinB＝sinC＝，2而0°＜B，C＜60°，∴B＝C.∴△AB

8、C为等腰钝角三角形．►归纳拓展要注意正弦的多值性，否则可能漏解．如本例中的(1)；由条件π不能只得到A＝B，而忽略A＋B＝.另外，还要注意等腰三角形或2直角三角形与