高中数学(必修五,苏教版)章末知识整合第1章 解三角形.pdf

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1、题型1应用正余弦定理解三角形解答下列各题:(1)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2,求B;(2)(20XX年山东卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=2,sinB+cosB=2,求A.分析:已知三角形两边和其中一边的对角,求另一边的对角,根据问题条件可能出现唯一解、两解、无解的情况,解题时一定要根据问题条件,准确判定.ab解析:(1)根据正弦定理,有=,sinAsinBbsinA2sin30°2即sinB=,得sinB==.a22∵aA=30°,B为锐角或钝角.即B=45°或135°.π

2、π(2)由sinB+cosB=2得sinB+=1,∴B=,44221由正弦定理=,得sinA=,sinAπ2sin4π又a<b,∴A<B,∴A=.6►归纳拓展已知两边和其中一边的对角解三角形,一般用正弦定理,但此时三角形不能唯一确定,可能出现一解、两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角,A>B则sinA>sinB”等关系来判定,也可以结合几何图形帮助理解记忆.具体模式如图,关键是比较bsinA与a和b的大小.当A为锐角,且bsinA=a时,一解,bsinA>a,无解,bsinA<a,两解,a≥b时一解,至于A=90°,A>9

3、0°,情况较易.►变式迁移1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知Aπ=,a=3,b=1,则c为()3A.1B.2C.3-1D.3ab解析:由正弦定理=,sinAsinBπ1×sinbsinA31∴sinB===.a32又∵a>b,∴A>B,∴B为锐角,ππ∴B=,于是C=,62∴△ABC为直角三角形,∴c=a2+b2=2,故选B.答:B(1)在△ABC中,a=m,b=n,c=m2+n2+mn,求C;13(2)在△ABC中,a=7,b=8,cosC=,求c及最大角的余弦14值.分析:(1)为△ABC中已知三边求一角,直接用余

4、弦定理cosCa2+b2-c2=求解即可.2ab(2)为△ABC中已知两边及其夹角余弦求第三边,用c=a2+b2-2abcosC求最大角的余弦,不难想到“大边对大角”.a2+b2-c2解析:(1)由余弦定理得cosC=,2ab将a,b,c的值代入上式,m2+n2-m2-n2-mn1得cosC==-.2mn2∵0°a>c,∴在△ABC中,B最大.a2+c2-b272+32-821∴cosB===-.2ac2×

5、7×37►归纳拓展余弦定理有三个方面的应用:一是已知三角形的两边和它们的夹角,可以由余弦定理求出第三边,进而求出其余两角;二是已知三角形的三边,利用余弦定理求出一个角,进而求出其他两角;三是正、余弦定理的综合应用,如已知三角形的两边及其一边的对角,除了能用正弦定理解三角形外,也可以用余弦定理来解三角形.►变式迁移2.(2013·湖南卷)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=3b,则角A等于()ππππA.B.C.D.12643ab解析:由正弦定理=和2asinB=3b可得2sinAsinBsinAsinB3=3si

6、nB,即sinA=,2π又∵△ABC为锐角三角形,∴A=.3答案:D题型2三角形形状的判断(20XX年辽宁卷)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.分析:只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系,就可以确定三角形的形状.解析:(1)由已知,根据正弦定理,可得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,b2+c2-a21由余弦定理得cosA==-,∴A=120°.2bc2(2)解法

7、一:由(1),B+C=60°,B=60°-C,由sinB+sinC=1,得sin(60°-C)+sinC=1,即sin60°cosC-cos60°sinC+sinC=1,即sin(C+60°)=1,而0°<C<60°,∴C=30°.故B=30°,∴△ABC为等腰钝角三角形.解法二:由(1)b2+c2+bc=a2得sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A,3即(sinB+sinC)2-sinBsinC=,41∴sinBsinC=,41与sinB+sinC=1联立,解得sinB=sinC=,2而0°<B,C<60°,∴B=C.∴△AB

8、C为等腰钝角三角形.►归纳拓展要注意正弦的多值性,否则可能漏解.如本例中的(1);由条件π不能只得到A=B,而忽略A+B=.另外,还要注意等腰三角形或2直角三角形与

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