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1、邢台学院数学系2009届本科生毕业论文辅助线在平面几何中的应用摘要:利用辅助线解题是几何证明中常用方法,也是平面几何教学的重点和难点.通过分析辅助线添加在平面几何中的作用,以三角形,四边形,圆为例研究了添加辅助线的几种常用方法,并指出了如何在教学中提高学生正确添加辅助线的能力.关键词:辅助线;作用;方法;能力辅助线是几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.它是在解证明题过程中,为解证明题创造某个条件,构成某种图形而添加的.辅助线是条件和结论间的纽带,而且也是平面几何教学的重点和难点.本文通过引导
2、学生在分析图形特点的同时,让学生掌握恰当的添加辅助线的方法及每一类辅助线的作用,从而培养学生直觉思维能力,类比、归纳探索规律的能力以及运用数学思维法则的能力等,以实现提高学生正确添加辅助线的能力.1.辅助线的作用1.1 纽带作用几何题证明的关键在于寻找已知条件和求证结论的联系,而构作辅助线在解题中起着一条纽带的作用.通过引辅助线,连接已知条件和求证结论的关系或者从结论中的一个几何量或图形过渡到另一个几何量或图形,从而确定证明题方向.例1.已知和外切于点,经过点作直线和,交于点,交于点,交于点,交于点E.求证:∥.分析:要证∥,只要证,这是一对
3、内错角.、不在同一个圆中,可作公切线,利用弦切角与圆周角的关系,容易证明.这里公切线犹如纽带一样连接两圆的关系.1.2 聚散作用6邢台学院数学系2009届本科生毕业论文当已知条件或求证结论中的某些几何量或图形聚集在一起时,通过引辅助线,把聚集在一起的已知条件或求证结论几何量或图形进行分解;反之,当已知条件或求证结论中的某些几何量或图形比较分散时,通过引辅助线,将分散零乱的已知条件或求证结论的几何量或图形集中于一个几何图形中,使之共同发挥作用,达到解题目的.如平移、对称、旋转都是聚散己知条件或求证结论几何量或图形的常用手段.例2.已知是的中线,
4、,求证:.图2分析:要证,这是一个比较两个角的大小.因此,应设法适当集中.延长到,使,连结(图2),集中条件于中.事实上,,所以,,;又因为,所以,因此,故,这里利用辅助线把分散的条件集中在中,以便证明.1.3 挖掘作用在几何题的解题中,有些题目往往条件和结论之间的关系不够明确.为了找到解题的方法,必须揭示条件和结论之间的关系.这时,添加辅助线是一种可行的办法.通过引辅助线,挖掘证明题所需要的几何量或已知图形的性质,发现并使用图形中的隐含条件,为证明题的关键一步——使用定理创造条件.例3.已知和交于、两点,过点分别交和于、点,且∥,求证:=图
5、3分析:要证=,连结、可联想到是的中位线,可证过点、过点,连结(图4).事实上,∥于,过点、过点,又因为,,故=.这里连结公共弦,目的是挖掘两圆相交的性质,即这个隐含条件.2.添加辅助线的常用方法辅助线在平面几何证明题中的运用极其重要,若能掌握辅助线的添加方法,6邢台学院数学系2009届本科生毕业论文那么,解决此类题型就易如反掌了.下面以常用的几种图形为例,介绍几种添加辅助线的常用方法.2.1 三角形中的常用方法(1)有关中点问题,即中点为对称中心,常用旋转法添加辅助线.引中位线、中线,延长法,造成全等三角形或相似三角形.(2)有关角平分线问
6、题,由于角是轴对称图形,对称轴就是角平分线,常用对称法添加辅助线.(3)有关高或垂线问题,以高或垂线为轴,作出轴对称图形、直角三角形,引斜边上的高、中线,与勾股定理、射影定理、面积元素联系.下面就以有关角平分线问题为例给予说明.例4:已知:,是角平分线,求证:.图4图4图4思考1:“直觉”告之,求证似乎显然,却难在如何把、放到一个三角形中去.如果沿角平分线折叠,会叠合到上,点会落到内部点处.使得和关于角平分线对称,再由对称性得,,从而只需证(图4()).思考2:类似地,将沿折叠必然重合到上,且点将落到的延长线上点处,同样可将“求证”化难为易(
7、图4()).思考3:同时考虑上述两种折叠法,即只需在上取点,在的延长线上取点,看似作了较多辅助线(图4()),可要求证起来,却非常的简便.2.2 四边形中常用方法 连结对角线,化为三角形问题,再用平移法、中连法、割补法.(1)在平行四边形中引高线转化为直角三角形问题,连对角线转化为三角形问题,这就是常用的中连法、平移法.(2)在梯形中连对角线,作高线,延长两腰组成三角形,化为三角形问题,或用平移法将梯形的腰或对角线平移,造成平行四边形和三角形问题,这就是割补法.下面以梯形为例给予说明.例5.己知四边形为梯形,∥,.求证:6邢台学院数学系200
8、9届本科生毕业论文图5图5分析:要证,只需证明、为边的三角形和全等,因对角线、都在梯形内.因此,可分别过点、作、,垂足为点、(图5()),容易证得.或过点作∥交的延
