谈谈平面几何中的辅助线

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1、谈谈平面几何中的辅助线解证几何问题，往往需要在图中另外添加一些线，通常称为辅助线．在图中一般画为虚线．常见的辅助线不外直线、线段、射线、圆或圆弧等等．(一)为什么要添线？解几何题是从题设条件出发，运用正确的逻辑推理，得到题断的结果．我们碰到的几何题有的并非一定要添线，有些则需要添线．为什么有的几何题一定要添线呢？我们还是从具体例题分析谈起．例1△ABC中，AC＞AB，在AC上取一点D，使CD＝AB，E为AD中点，F为BC中点．连FE交BA延长线于G．求证AE=AG．分析要证AE=AC．只须证∠1=∠2，问题的关键在于如何由AB

2、＝CD等题设来证得∠1＝∠2．由于AB、CD位置分散，它们与∠1、∠2的联系不易直接观察到．因此，必须设法添线使它们由分散状态相对集中，使它们之间的联系由隐蔽变为明显．为此，连结BD，取BD中点0．联OE、OF．这样就将∠1“搬”到了∠3、∠2“搬”到了∠4．AB、CD各以其一半的面目“搬”到了OE和OF．于是就把已知、求证中有关的元素相对地集中在一个△OEF中了．容易见到，只要证得∠3=∠4，问题即可迎刃而解．证明(略)．例2在△ABC中，∠B=2∠C，求证b2=c2＋ac分析要证b2=c2＋ac，只须证b2＝c(a＋c)只

3、须证b∶c＝(a+c)∶b即只须证b、c、(a+c)、b分别为一对相似三角形的对应边．这对三角形要满足①以b为公共边，②其中有一个三角形要有一边为a+c．为此延长AB至D，使BD=BC，这时AD=a+c．连结DC．要证b∶c＝(a＋c)∶b只须证△ABC～△ADC，由于∠A为这两个三角形的公用角，只须条件∠ACB=∠D．也即只须2∠ACB＝∠ABC．这正是题设所给出的我们通过添线沟通了题设与题断之间的逻辑通路．大家不难写出本题的证明．(略)上述诸例表明，解证几何问题，就是由已知出发，用形式逻辑的推理与量的计算，来探求新的、未知

4、的结果．一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化．实现这一转化，要求我们依据具体问题具体分析，而添设辅助线，正是我们创造的转化条件的一部分，是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁．添设辅助线的总目的在于沟通解题思路．创设由已知条件向所求结论过渡的条件．其作用(1)使复杂的问题化为我们所熟悉或早已掌握、解决的问题，应有如梯形中位线定理证明中通过添线把问题转化为三角形中位线定理；(2)使图形中隐蔽的关系显现出来，(如例2，例3)(3)使不直接联系的元素发生联系．(如例1)添设辅助线既不是随心所欲的胡添乱画，也不可生硬地机械照

5、搬．而是随着解题思路的展开，当碰到某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径，来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线．这正是理解添设辅助线方法的精髓．练习一对下述各题分析解题思路，决定添线方法，从中体会添线的目的与作用．1．△ABC中，AB为高，D为垂足，∠B=2∠C，求证AB+BD=DC．2．△ABC中，∠A=60°，∠B的平分线BD与∠C的平分线CE相交于O，求证OD=OE．3．四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠ACB=50°，求∠BDC的度数．4．△ABC中，AC=BC，∠C=20°，作∠ABD

6、=70°，且BD交AC于D．求证CD=AB．(二)添线的原则原则一化繁为简添设辅助线有助于①把复杂的图形分解成简单的图形；②把复杂问题分割为若干个简单问题；③把不规则图形转化为规则图形．无论添线怎样复杂，仔细分析，都是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来驾驭“繁”．例4如图4，已知凸六边形ABCDEF，对角线BF、AC、BD、CE、DF、EA的中点分别是A1，B1，C1，D1，E1，F1．若A1B1C1D1E1F1也是一个凸六边形，求证A1B1C1D1E1F1面积恰为ABCDEF分析容易发现，小六边形的对角线，平行且

7、等于大六边形相应的分为两个四边形，连A1D1把小六边形也分为两个四边形．四边形A1D1E1F1面积=A1E1×D1F1sinα1由于两对边对应平行的角α=α1，这样，立即可得出结论．本题连AD，A1D1把六边形面积计算转化为两个四边形面积计算问题，这样达到化繁为简的目的．例5在△ABC中，E是AC中点，D是BC边一点．若BC=1，∠ABC＝60°，∠BAC＝100°，∠CED=80°．求△ABC的面积与二倍的△CDE面积之和．分析设K=S△ABC+2S△CDE．由于∠BCA=20°，∠EDC＝80°，∴CE=CD．直接计算两个

8、三角形的面积很困难，要碰到求特殊角的三角函数值．但如果注意到∠ABC=60°这个条件，把△ABC复原为一个边长为1的正三角形．为此，延长BA到G，使BG=BC=1．连CG，在AG上取F点，使BA=GF．连CF，则易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°．于是△A