平面几何中添加辅助线的常用方法论文：浅谈平面几何中添加辅助线的常用方法

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1、平面几何中添加辅助线的常用方法论文：浅谈平面几何中添加辅助线的常用方法【摘要】本文主要归纳了三角形、梯形、圆这三类几何图形中添加辅助线的常用方法，并介绍了这些常用方法在三类几何问题中的具体应用。【关键词】平面几何添加辅助线常用方法对于平面几何来说，不论是证明题，计算题，还是作图题，常常都涉及到添加辅助线的问题［1］。因此，怎样添加辅助线对于解决平面几何问题就显得尤其重要。本人在教育实习期间，发现有的学生面对平面几何问题，不知道去添加辅助线，有的学生即使添加了辅助线，但对问题的解决却帮助不太大。基于以上情况，为了帮助同学们有一些清晰添

2、加辅助线的常用方法，本文归纳了三角形、梯形、圆这三类几何图形中添加辅助线的常用方法，并介绍了这些常用方法在三类几何问题中的具体应用，具体如下：1.在三角形、梯形、圆中添加辅助线的常用方法：1.1三角形1.1.1等腰三角形：连底边上的中线或高或顶角的角平分线；1.1.2直角三角形斜边上有中点：连中线;1.1.3斜三角形：①作中线、中位线；②过中点作延长线或平行线；③截长补短法；④连接两点。1.2梯形1.2.1由梯形的小底两端作大底的垂线，作直角三角形和矩形；（图1）1.2.2由小底的一端作另一腰的平行线，或作另一对角线的平行线，作三角

3、形和平行四边形；（图2，图3）1.2.3延长两腰交于一点，作相似三角形；（图4）1.2.4由大底的一端作另一腰的平行线，作平行四边形；（图5）1.2.5过一腰的中点作另一腰的平行线，作全等三角形；（图6）1.2.6连小底一端与另一腰的中点，并与大底的一边相交，作全等三角形；（图7）1.2.7连两腰的中点，作梯形的中位线；（图8）1.2.8连梯形的对角线，把梯形转化为三角形；（图9）1.2.9过小底的中点分别作两腰的平行线，构造一个集中有两腰及上下两底差的三角形和平行四边形。（图10）1.3圆1.3.1作弦心距；1.3.2作过切点的半

4、径或弦；1.3.3过已知点作圆的切线；1.3.4作直径上的圆周角；1.3.5作两圆的公切线或连心线；1.3.6作两相交圆的公共弦或连心线；1.3.7作辅助圆。2.添加辅助线在具体解题中的应用2.1在三角形中2.1.1利用等腰三角形三线合一添高在等腰或等边三角形中，若已知三边，求面积或需证明底边上的某些线段相等时，常通过添底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，可得高把原来的三角形分成左右两个全等的直角三角形，利用直角三角形勾股定理或全等三角形对应边、对应角相等的性质解题。例1［2］已知：点d，e在bc上，ab=ac，ad=ae求

5、证：bd=ce图11分析：已知条件中有两个等腰三角形，而所证的两条线段正好位于底边上，通过添高利用等腰三角形三线合一的性质可得线段bh=hc,dh=he。再根据等式性质，命题即可得证。证明：过a作bc边的高，垂足点为h,∵ab=ac,ad=ae，ah⊥bc∴bh=hc,dh=he（等腰三角形三线合一）∴bd=ce说明：本题利用等腰三角形三线合一添高，使证明简便。2.1.2直角三角形斜边上有中点连中线在直角三角形中，连斜边的中线构造两个等腰三角形，或便于运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。例2［3］已知bd和ce是三角形

6、abc的两条高线，求证：线段de的垂直平分线过bc边的中点f。图12分析：已知bd⊥ac,ce⊥ab,要证线段de的垂直平分线过bc边的中点f，只要在bc边上取中点f，连接df、ef利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知ef=12bc=df从而△efd是等腰三角形，易知de的垂直平分线过点f。证明：取bc的中点为点f，连接ef、df∵bd,ce分别是ac，ab上的高线∴在rt△bec中，ef=12bc在rt△bdc中df=12bc∴ef=df∴△efd是等腰三角形作de的垂直平分线l交点为g，∵等腰三

7、角形的三线合一∴线段df的垂直平分线过bc边的中点f。说明：此题是在直角三角形中，连斜边的中线构造两个等腰三角形，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，然后又利用等腰三角形的三线合一，问题便得解。2.1.3过中点作延长线或平行线例3［3］试证三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于底三边的一半。已知：e,f是三角形abc两边ab,ac上的中点（图13）图13求证：ef∥=12bc此题添加辅助线的方法有：①延长ef至q，使fq=ef,连结qc,从三角形全等，在推到出ebcq是平行四边形；（图14）图14②

8、过f作gs∥ab交bc于g，过a作as∥bc交gs于s。从三角形全等，再推导出ebgf是平行四边形。（图15）图15③过e,f任作两条平行线的直线ps和rt，过a作st∥bc,分别交前者s,t,再由sprt是平行四边形去证两对三