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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS编号学士学位论文浅谈平面几何中辅助线的作用学生姓名：学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：指导教师：完成日期：2012年月日16学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要解证几何题离不开辅助线,辅助线作的好坏直接影响几何题证得过程的繁简,甚至决定着能否证出这道几何题.那么应该如何添加辅助线？本文中主要介绍有角平分线,有中点,有垂线或垂直平分线,三角形,和圆问题中如何添加辅助线的方法.关键词：辅助线；角平分线；垂直平分线；三角形；圆.16学士学位论文BACHELOR’STHESIS目录中文摘要1引言21.与角平分线有关的辅助线22.
2、有中点时添加辅助线的方法43.垂直与垂直平分有关的辅助线54.与三角形有关的辅助线75.相似三角形中常用的辅助线76.与圆有关的辅助线96.1与圆的性质有关的辅助线为96.2与切线有关的辅助线106.3与两圆有关的辅助线11总结13叁考文献14致谢1516学士学位论文BACHELOR’STHESIS16学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言几何题的证明除少数极简易者外,一般都需要添加辅助线。辅助线的作法千变万化,是几何证明题中的难点,在几何证题中,能否正确的添加辅助线,是证题的关键,也是分析问题和解决问题能力的表现.我们要正确添加辅助线,需我们对图形作具体观察,分析,图形中各元素
3、之间的关系从而找出它们内在的规律.连通图形的位置关系和数量关系.添加辅助线的目的是使隐蔽的条件显现出来,通过搭桥引线,沟通已知和未知的联系.1.与角平分线有关的辅助线1.在角两边上取相等的线段构造三角形全等证明题.过角平分线上一点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到就角两边距离相等去证明题.例1：如图1.是的中线,分别,,平分,连接.求证：证明：在中线上取连接,平分,,，,≌,同理可证：,而中有；2.从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与另一边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点.该角平分线又成为底边上的中线和高.16学士学位论文BACHELOR’STHESIS例2：如图2
4、.求证：证明：延长与的延长线交于,,≌,,,又,≌,,;例3：如图3.分别是的角平分线,过点,作,垂足分别为分求证：证明：分别延长交于≌同理可证：中，,;16学士学位论文BACHELOR’STHESIS2.有中点时添加辅助线的方法1.有中线时可延长至等长构造全等三角形或平行四边形.例4：如图4.是的三条中线,它们交于.求证：证明：延长至,使,连接,则,∴四边形是平行四边形,即;2.若图形中有线段的中点时构造三角形中位线.例5：如图5.设四边形有一双边相等,证明这两边（所在直线）跟另一边中点的连线的交角相等.已知：为分别的中点.求证：证明：连接,取的中点,连接∵,;3.若图形中有直角三角形和
5、斜边中点时经常作斜边中线,利用斜边的中线性质构造两个等腰三角形.16学士学位论文BACHELOR’STHESIS例6：如图6.中,为高,为的中点求证：证明：取的中点,连接分别为的中点,∴为高中为斜边上的中点,由//,,即;3.垂直与垂直平分有关的辅助线1.在三角形中经常作一边（或两边）的高,构造直角三角形,可利用三角形相似,证明线段成比例关系.例7：如图7.中,,四边形为的内接正方形.求：正方形的边长.解：作于,交于,在中由,得由//,得∽,所以,设正方形的边长为,16学士学位论文BACHELOR’STHESIS则,解得.所以正方形的边长为；2.有直角三角形时常作斜边上的高,可以得三个两两
6、相似的直角三角形,利用相似三角形的有关性质.有垂直平分线经常把垂直平分线上的点和线段的端点连接起来,利用垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等.例8：如图8.在中,平分,垂直平分于点,交的延长线于点.求证：证明：连接,垂直平分,∽∴,即;3.有和已知直线垂直的直线时,常作已知直线的垂线,这样可以得到两条平行线（或一组平行线）就可以利用平行线性质,平行线等分线段性质.例9：如图9.在中,,为上任一点.求证：点到两腰的距离之和为常量.证明：作于,于.就可以得DEFP为矩形,,,,≌;中是常量.即为常量.16学士学位论文BACHELOR’STHESIS4.与三角形有关的辅助线1.若图形中有等腰三
7、角形时常作底边高（或作底边中线或顶角平分线），过一点作底边的平行线,或作一个腰的平行线.例10：如图10.在中,,为上一点,求证：证明：过点作于,则,;5.相似三角形中常用的辅助线1.添加已知直线的平行线,可得相似三角形,或根据已知的条件构造相似三角形.例11：如图11.在中,平分,求证：证明：过点作的平行线与的延长线交于,//，16学士学位论文BACHELOR’STHESIS，且,是的平分线即;例12：如图12.在中,
