浅谈平面几何中辅助线的作法

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1、浅谈平面几何中辅助线的作法平面几何中证明题和计算题是最多见的题目，其中很多题目需要添加一些辅助线才能解决问题。各类型的题目所需添加不同的辅助线。所以添加辅助线就成为几何证题和计算题中的难点，现将添加辅助线的规律和技巧作几点归纳。一、线段加倍法在三角形中当已知边的中点时,可考虑延长以中点和端点的线段,延长的部分等于已知线段。这样可构造一来一.例1,已知：如图（1）三角形两边长分刘J7J汐三角形。分析：延长AD到E,使DE二AD,连结EC,则有ADCE竺5和7,第三边的中线长为X,求X的取值范围。其中ZAFB二90°ZAHE=90°<6AGB二、等

2、腰三角形中的“三线合一”CE=AB=7AE=2X在AAEC中，由CE-ACZAEVCE+AC：^

3、“截长”或“补短”法（3）MC在几何证明题中，当已知两线段的和等于某一线段时，可考虑“截长”或“补短”法。例3,如图（3）已知AABC中，ZA=2ZB,CD是角平分线。求证:BC二AD+ACo分析：可在长线段BC上截取一线段CM二AC,然后再证长线段BC上剩余的线段BM二AD。由上易证得ADC^AMDC・•・AD二MD再证出ABED为等腰三角形，得MB二MD,・・・BC二AD+AC。四、梯形中常作的辅助线梯形问题往往通过添加辅助线化为三角形和特殊的四边形来解决。例如：（a）把梯形转化为矩形和两个直角三角形。如图（4）作梯形的两条高其中（b）把梯

4、形转化为平行四边形和三角形。/其中当涉5)及到腰和底时可平行移动腰。如图（当涉及(4)到对角线和底时，可平行移动对角线。如图（6）（C）把梯形转化为三角形，延长梯形的两腰相交后得到个三角图(5)例4,已知梯形上、下两底长分别为3和17,B两腰长分别为13和15,求梯形的面积。分析：可作如图（8）所示辅助线。作DEZE,(6)作DF丄BC于Fo可利用两个直角三角形先求得梯形的高DF,再求面积。其中ZDFC=90°AD(8)五、利用作平行线转化线段比。在证明比例问题中，常用添加平行线转化成线段比。一般方法是通过“主要点”作“主要线”的平行线，与“非

5、主要线”相交构成成比例线段。例5,如图(9)在AABC中，D为AB上任一点，过D的直线交AC于E,交BC的延长线于点F。求证：AD/BD•BF/CF•CF/AE=1O分析：题目中有三个比，它们分别是在AB•BC•AC上，即这三线为“主要线”。它们的交点A、B、C即为“主要点”。DF为“非主要线”，因此本题可过“主要线”AC、BC的交点C作“主要线”AB的平行线CM交“非主要线”DF于M点即可。以上仅举几例常用的作辅助线的方法，其它方法还很多。例在中遇到直径常作此直径所对的周角是直角。遇到切线问题，连结过切点的半径是常用的辅助线之一；遇到相切两圆

6、常作公切线；遇到相常作公共弦等等。你还可以在同一题目中作不同的辅助线来达到同一目的。