浅谈圆的辅助线作法

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1、浅谈圆的辅助线作法摘要：数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力，而创造性是数学思维的最根本.最核心的智力品质。在初中平面几何的教学中，要不断地利用教材特征，挖掘生活素材，适时地培养学生的创造性思维能力。下面以怎样作圆的辅助线的探索与归纳予以说明。关键词：圆半径直径弦弦心距在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。1.有弦，可作弦心距DCBPOAEFPB图1在解决与弦、弧有关

2、的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。例1如图1,⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分∠APD。BD，(AC(分析1：由等弦AC=BD可得出等弧=CD(AB(进一步得出=，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。CD(AB(证法1：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于FBD(AC(AC=BD=>==>==>AB=CD=>OE=OF∠OEP=∠OFP=90°=>△OPE≌△OPFDCBPOAPB图1-10OP=

3、OP=>∠OPE=∠OPF=>PO平分∠APD分析2：如图1-1，欲证PO平分∠APD，即证∠OPA=∠OPD，可把∠OPA与∠OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ACP≌△DBP，得AP=DP，从而易证△OPA≌△OPD。证法2：连结OA，OD。∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB=>△ACP≌△DBPAC=BD=>AP=DPOA=OD=>△OPA≌△OPD=>∠OPA=∠OPD=>PO平分∠APDOP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角BDCMAO.A21图2对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角

4、这个性质。例2如图2，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线DM交AC于M。求证DM⊥AC。分析：由AB是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角。于是可连结AD，得∠ADB=Rt∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM⊥AC。证明连结AD。=>∠1=∠2AB为⊙O的直径=>∠ADB=Rt∠AB=ACDM切⊙O于D=>∠ADM=∠B=>∠1+∠B=∠2+∠ADM=>∠AMD=∠ADB=Rt∠=>DM⊥AC说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。3.当圆中有切线常连结过切点的半

5、径或过切点的弦例3如图3,AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，DC切⊙O于C点。求∠A的度数。DAOBC.图3分析：由过切点的半径垂直于切线，于是可作辅助线即半径OC，得Rt△，再由解直角三角形可得∠COB的度数，从而可求∠A的度数。解：连结OC。=>COS∠COD=OC/OD=1/2=>∠COB=60°DC切⊙O于C=>∠OCD=90°OC=OB=BDEDCFO12AB图4=>∠A=1/2∠COB=30°说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。例4如图4，已知△ABC中，∠1=∠2，圆O过A、D两点，且与BC切于D点。求证EF//BC。分析：欲证EF//BC，可找同

6、位角或内错角是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE，得一对内错角∠BDE与∠DEF，由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2，故易证EF//BC。证明连结DE。BC切⊙O于D=>∠BDE=∠1∠2=∠DEF=>∠BDE=∠DEF=>EF//BC∠1=∠2ACNBDMPO1O2..图5说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。4.当两圆相切，可作公切线或连心线例5已知：如图5，⊙O1与⊙O2外切于点P，过P点作两条直线分别交⊙O1与⊙O2于点A、B、C、D。求证PB•PC=PA•PD。分析：欲证PB•PC=PA•PD，即证PA∶PB=PC∶PD，由此可作辅助线AC、B

7、D，并证AC//DB，要证平行，需证一对内错角相等，如∠C=∠D，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN，从而问题迎刃而解。证明连结AC、BD，过P点作两圆的内公切线MN=>∠C=∠D=>∠APM=∠C，∠BPN=∠D∠APM=∠BPN=>AC//DB=>PA∶PB=PC∶PD=>PB•PC=PA•PDTBAO1O212图6说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。例6已知：如图