2010届高三(理科)数学解答题专项训练(6)(函数

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1、2010届高三（理科）数学解答题专项训练（6）（函数与导数参考答案）1．设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；（II）证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。由题意知方程有两个根则有故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)由题意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②　　　消去可得．又，且2．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：www.ks5u.com解：（1）求函数的导数；．曲线在点处的

2、切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．3．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．解：令对g(x)求导得令当时,对所有的x>0都有,所以上为单调增函数，又g(0)=0,所以对即当所以成立当

3、a>1时,对于，所以g(x)在所以对于即f(x)1时不一定成立综上所述可知a的取值范围是4．设函数.(Ⅰ)求的单调期间；(Ⅱ)如果对任何，都有，求a的取值范围.解：（Ⅰ）．当（）时，，即；当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．（Ⅱ）令，则．故当时，．又，所以当时，，即．当时，令，则．故当时，．因此在上单调增加．故当时，，即．于是，当时，．当时，有．因此，的取值范围是．5．设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．（Ⅱ）令，则，（1）若，当时，，故在上

4、为增函数，所以，时，，即．（2）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．6．设,函数．（Ⅰ）若是函数的极值点,求的值；（Ⅱ）若函数,,在处取得最大值,求的取值范围．解：7．已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16,当t+1<4，即t<3时，f(x)在

5、[t，t+1]上单调递增，h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7;当t≤4≤t+1时,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16;当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，h(t)=f(x)=－t2+8t.t<3,3≤t≤4,t>4综上，h(t)=（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数j(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。∴j(x)=x2－8x+16lnx+m,∵j′(x)=2x－8+当x∈(0,1)时，j′(x)>0，j(x)是增函数；当x∈(1,3)时，j′(

6、x)<0，j(x)是减函数；当x∈(3,+∞)时，j′(x)>0，j(x)是增函数；当x=1，或x=3时，j′(x)=0；∴j(x)极大值=j(1)=m－7,j(x)极小值=j(3)=m+6ln3－15.∵当x充分接近0时，j(x)<0，当x充分大时，j(x)>0.∴要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须既7

7、解:（I）令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则⑴当时，在单调递增；⑵当时，，在单调递减。故．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.comw.w.w.k.s.5.u.c.o.m