【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题》

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1、与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题分层训练A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若α∈，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析　由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得>>0，即sinα>cosα>0.又α∈，所以<α<.答案　[来源:Zxxk.Com]2．已知椭圆C：＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则PF1＋PF2的取值范围是________．解析　由题意，得点P在椭圆＋y2＝1的内部，所以2c≤PF1＋PF2<2

2、a，即2≤PF1＋PF2<2.答案　[2,2)．3．(2012·江苏丹阳中学模拟)已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得·<0的点M的概率为________．解析　设点P的坐标为(m，n)，则·＝(－－m，－n)·(－m，－n)＝m2－3＋n2＝m2－3＋1－＝－2<0，解得－

3、ks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans答案　4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，P是椭圆上一点，且·＝0，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析　设

4、

5、＝m，

6、

7、＝n，则由·＝0，得⊥，所以有m2＋n2＝F1F＝4c2.又由椭圆定义，得m＋n＝2a.于是由不等式≥

8、2，得2c2≥a2，所以e2＝≥.又0b>0)，当a2＋取最小值时，椭圆的离心率e＝________.　解析　a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16，当且仅当a2＝8，b2＝a2＝2时等号成立，此时c2＝a2－b2＝6，所以e＝＝.答案　6．(2012·镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析　设P，F1P的中点Q的坐标为，当y≠0时，有kF1P＝，

9、kQF2＝，由kF1P·kQF2＝－1得y2＝，y2≥0，但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0，即3c2－a2>0，即e2>，故

10、liance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标．(1)证明　∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.当x1≠x2时，由，得＝－·.设线段PQ的中点N(1，n)，∴kPQ＝＝－，∴线

11、段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，∴(2x－1)n－y＝0，则直线恒过一个定点A.当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.(2)解　由于点B与点A关于原点O对称，故点B.∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，PB2＝2＋y＝(x1＋1)2＋≥，∴当点P的坐标为(0，±)时，PBmin＝.8．(2011·四川)如图过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直

12、线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2