2016高考数学大一轮复习 9.4与圆有关的定点、定值、最值与范围问题试题 理 苏教版

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1、【步步高】2016高考数学大一轮复习9.4与圆有关的定点、定值、最值与范围问题试题理苏教版一、填空题1．已知实数x，y满足则点(x，y)到圆(x＋2)2＋(y－6)2＝1上点的距离的最小值是________．答案　4－12．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．解析　法一　点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2＋y2最小值为(－1)2＝14－2.法二　设圆的参数方程为则x2＋y2＝14＋4cosα＋6sinα，所以x2＋y2的最小值为14－＝14－2.答案　14－23．圆

2、C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆M的方程为(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)．过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是________．解析　如图所示，连接CE，CF.由题意，可知圆心M(2＋5cosθ，5sinθ)，设则可得圆心M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝25，由图，可知只有当M，P，C三点共线时，才能够满足·最小，此时

3、PC

4、＝4，

5、EC

6、＝2，故

7、PE

8、＝

9、PF

10、＝2，∠EPF＝60°，则·＝(2)2×cos60°＝6.答案　64．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其

11、中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析　△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离等于，由点到直线的距离公式，得＝，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－且b∈[－，]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝＝，因此当b＝－时，d取最大值，此时dmax＝＝＋1.答案　＋15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．　解析　如图所

12、示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由PA＝PB易知四边形PACB的面积＝(PA＋PB)＝PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小．由于PA＝，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝＝3，PA＝＝2，所以四边形PACB面积的最小值是2.答案　26．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为________．解析　设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，切线方程为x0x＋y0y＝1，分别令x＝0，y＝0，得A、B，所以AB＝＝≥2.

13、答案　27．若圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，则a的最小值为________．　解析　由题意，得解得a≥－2.答案　－28．过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．解析　因点P在圆C内，所以当AB长最小时，∠ACB最小，此时AB⊥PC.由kPC＝－2可得kAB＝.所以直线l的方程为2x－4y＋3＝0.答案　2x－4y＋3＝09．过直线x＋y－2＝0上一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析　

14、因为点P在直线x＋y－2＝0上，所以可设点P(x0，－x0＋2)，设其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2，所以OP2＝4，即x＋(－x0＋2)2＝4，解得x0＝.故点P的坐标是(，)．答案　(，)10．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________．解析　由题意，圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－2a－b＋1＝0，即2a＋b－1＝0.因为表示点(a，b)与(2

15、,2)的距离，所以的最小值为＝，即(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.答案　5二、解答题11．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．(1)证明　∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝OA·OB＝××

16、2t

17、＝4，即△OAB的面积为定值．(2)解　∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线