专题19坐标系与参数方程-2018年高考数学（理）备考易错点专项复习

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1、1．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．2．(2016·全国卷甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，

2、AB

3、＝，求l的斜率．解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标

4、系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.

5、AB

6、＝

7、ρ1－ρ2

8、＝＝.由

9、AB

10、＝得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率为或－.3．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝12，定点A(6,0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．(1)求点Q的轨迹C2的

11、直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若

12、AB

13、≥2，求实数a的取值范围．解析：(1)根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，设点P(x′，y′)，Q(x，y)，根据中点坐标公式，得代入x2＋y2－4y＝12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离d≤＝1，即≤1，解得0≤a≤.∴实数a的取值范围为.4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程

14、为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．5．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建

15、立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，

16、AB

17、＝，求l的斜率．解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.

18、AB

19、＝

20、ρ1－ρ2

21、＝＝.由

22、AB

23、＝，得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率为或－.6．已知圆

24、C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径．解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长．8．在直角坐标系中圆C的参数方程为(α为

25、参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程．解　由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.9．已知曲线C：(θ为参数)，直线l：ρ(cosθ－sinθ)＝12.(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值．解　(1)依题意可得直线l的直角坐标方程为x－y－12＝0，曲线C的普通方程为＋＝1.(2)设P

26、(3cosθ，sinθ)，则点P到直线l的距离d＝＝，故当cos(θ＋)＝1时，dmin＝3.易错起源1、极坐标与直角坐标的互化例1、在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，