2010年浙江省高中数学竞赛试卷

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1、2010年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题(本大题共有10小题,每题5分,共50分)1.化简三角有理式的值为()A.1B.C.D.1+2.若,则是的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.集合P={},则集合为(    )A.B.C.D.4.设,为两个相互垂直的单位向量。已知=,=,=r+k.若△PQR为等边三角形,则k,r的取值为()A.B.C.D.5.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则CA1与C1B所成的角的大小是()A.60°B.75°C.9

2、0°D.105°6.设,分别为等差数列与等比数列,且,则以下结论正确的是()7.若的二项式展开式中系数最大的项为()A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项8.设,,则下述关系式正确的是()。A.B.C.D.9.下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为()正视图:半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图:半径为1的圆以及高为1的矩形俯视图:半径为1的圆A.B.C.D.10.设有算法如下:如果输入A=144,B=39,则输出的结果是(B)A.144B.3C.0D.12二、填空题(本大题共有7小题,将正确答

3、案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)11.满足方程所有实数解为。12.函数的最小正周期为.13.设P是圆上一动点,A点坐标为。当P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹方程为.14.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得AD把△ABC分成两个等腰三角形,试求△ABC的最小内角的取值范围为15.设z是虚数,,且,则z的实部取值范围为.16.设。如果对任何,都有,则k的最小值为.17.设,。当函数的零点多于1个时,在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为三、解答题(本大题共有3小题,每题17分,

4、共51分)18.设数列,问:(1)这个数列第2010项的值是多少;(2)在这个数列中,第2010个值为1的项的序号是多少.19.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。20.已知椭圆,以(0,1)为直角顶点,边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为,求的值。四、附加题:(本大题共有2小题,每题25分,共50分。)21.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB上的点。记。

5、证明:。22.(1)设,平面上的点如其坐标都是整数,则称之为格点。今有曲线过格点(n,m),记对应的曲线段上的格点数为N。证明:。(2)进而设a是一个正整数,证明:。(注表示不超过x的最大整数)www.zxsx.com2010年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题(本大题共有10小题,每题5分,共50分)1.化简三角有理式的值为(A)A.1B.C.D.1+解答为A。。也可以用特殊值法2.若,则是的(B)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解答为B。p成立,所以p成立,推不出

6、q一定成立。3.集合P={},则集合为(  D  )A.B.C.D.解答:D。画数轴,由绝对值的几何意义可得,。4.设,为两个相互垂直的单位向量。已知=,=,=r+k.若△PQR为等边三角形,则k,r的取值为(C)A.B.C.D.解答.C.,即。5.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则CA1与C1B所成的角的大小是(C)A.60°B.75°C.90°D.105°解答:C。建立空间直角坐标系,以所在的直线为轴,在平面上垂直于的直线为轴,所在的直线为轴。则,。1.设,分别为等差数列与等比数列,且,

7、则以下结论正确的是(A)A.B.C.D.解答:A。。2.若的二项式展开式中系数最大的项为(D)A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项解答:D.,r=10,第11项最大。3.设,,则下述关系式正确的是(D)。A.B.C.D.解答:D。函数为偶函数,在(0,)上,为减函数,而,,所以。4.下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为(C)侧视图:半径为1的圆以及高为1的矩形俯视图:半径为1的圆A.B.C.D.解答:C.根据题意,该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。10.设有算法如下:如果输入A=144

8、,B=39,则输出的结果是(B)A.144B.3C.0D.12解答B(1)A=144,B=39,C=27:(2)A=39,B=27,C=12:(3)A=27,B=12,C=3:(4)A=12,B=3,C=0。所以A=3。二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)11.满足方程所有实数解为。解答变形得,解得。12.函数的最小正周期为.解答。13.设P是圆上一动点,

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