2008年浙江省高中数学竞赛试卷

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1、2008年浙江省高中数学竞赛试卷(2008年4月13日（星期日）上午9：00---11：00)一、选择题（本大题满分36分，每小题6分）1．已知集合，则下列正确的是（）A．B.C.D.2．当时，，则下列大小关系正确的是（）A．B.C.D.3．设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（）A．；B.；C.；D.4．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则△ABC一定为()A．直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形5．已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大

2、值是（）A．B.2C.D.46．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（）A.B.C.3D.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．＝。8．设为非负实数，满足，则＝。9．设，则。10.设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是。11．已知，直线与的交点在直线上，则。12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，

3、顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为。13．已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6,0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）得分评卷人得分14．求解不等式。评卷人得分15．设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明：1）若，且，则；2）若则。评卷人四、附加题（本大题满分50分。解答应写出文

4、字说明，证明过程或演算步骤。选考B卷的学生选做本大题，不计入总分。）16．设为2008个整数，且（）。如果存在某个，使得2008位数被101整除，试证明：对一切，2008位数均能被101整除。17.将3k（k为正整数）个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子，而最后取完，则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。2008年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案一、选择题（本大题满分36分，每小题6分）1．已知集合，则下列正确的是（）A．B.C.D.解：因为，所以有正确

5、答案为A。2．当时，，则下列大小关系正确的是（）A．B.C.D.解：当时，，，。又因为。所以。选C。3．设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（）A．；B.；C.；D.解：函数的定义域为。当时，应有，即；当时，应有，即。因此，选B。4．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则△ABC一定为()A．直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。因此选D。5．已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值

6、是（）A．B.2C.D.4解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则。因此选A。6．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（）A.B.C.3D.解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0),B(0,1,0),,，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。因此选B。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．＝。解：根据题意要求，，。

7、于是有。因此。因此答案为1。8．设为非负实数，满足，则＝。解：显然，由于，有。于是有，故。9．设，则。解：。10.设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是。解：根据题意，设两个相异的实根为，且，则，。于是有，也即有。故有，即取值范围为。11．已知，直线与的交点在直线上，则。解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，的两个根，即为方程的两个根。因此，即0。12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落

8、在边BC上。AD的长度的最小值为。解：设，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。在△DGB中，当时，即。13．已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6,0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）得分评卷人解：（1）设c为椭圆的