2010年浙江省高中数学竞赛试卷

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1、2010年浙江省高中数学竞赛试卷说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1．化简三角有理式的值为（A）A.1B.C.D.1+解答为A。。2．若，则是的（B）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解答为B。p成立，

2、所以p成立，推不出q一定成立。3．集合P={}，则集合为（　　D　　）A.B.C.D.解答：D。画数轴，由绝对值的几何意义可得，。4．设,为两个相互垂直的单位向量。已知=，=，=r+k.若△PQR为等边三角形，则k，r的取值为（C）A．B．C．D．解答．C.，即。1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是(C)A．60°B．75°C．90°D．105°解答：C。建立空间直角坐标系，以所在的直线为轴，在平面上垂直于的直线为轴，所在的直线为轴。则，。2．设，分别为等差数列与等

3、比数列，且，则以下结论正确的是（A）A.B.C.D.解答：A。。3．若的二项式展开式中系数最大的项为（D）A．第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项解答：D.，r=10，第11项最大。4．设，，则下述关系式正确的是（D）。A．B.C.D.解答：D。函数为偶函数，在（0，）上，为减函数，而，，所以。1．下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（C）正视图：半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图：半径为1的圆以及高为1的矩形俯视图：半径为1的圆A.B.C.D.解答：C.根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组

4、合体。10.设有算法如下：如果输入A=144,B=39,则输出的结果是（B）A.144B.3C.0D.12解答B（1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.满足方程所有实数解为。解答变形得，解得。12.函数的最小正周期为.解答。13.设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为.解答设M的坐标

5、为，因为P点在圆上，所以所以P点轨迹为。14.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为30°30,所以3022.5,所以22.5

6、15.设z是虚数，，且，则z的实部取值范围为.解答设当，无解；当。16.设。如果对任何，都有，则k的最小值为.解答分子，所以k的最小值为。17.设，。当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为0或q.解答因为函数为偶函数，由对称性以及图像知道，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18.设数列，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.解（1）将数列分组：因为

7、1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为。---------10分（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=8076181。------------17分19.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜

8、色球数之积相等。问共有多少种放法。解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为，则有，且（*1）-----------------5分即有。（*2）于是有。因此中必有一个取5。不妨设，代入（*1）式，得到。----------------10分此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法。同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，