2010年浙江省高中数学竞赛试卷

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1、2010年浙江省高中数学竞赛试卷说明:本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分)1.化简三角有理式的值为(A)A.1B.C.D.1+解答为A。。2.若,则是的(B)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解答为B。p成立,

2、所以p成立,推不出q一定成立。3.集合P={},则集合为(  D  )A.B.C.D.解答:D。画数轴,由绝对值的几何意义可得,。4.设,为两个相互垂直的单位向量。已知=,=,=r+k.若△PQR为等边三角形,则k,r的取值为(C)A.B.C.D.解答.C.,即。1.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则CA1与C1B所成的角的大小是(C)A.60°B.75°C.90°D.105°解答:C。建立空间直角坐标系,以所在的直线为轴,在平面上垂直于的直线为轴,所在的直线为轴。则,。2.设,分别为等差数列与等

3、比数列,且,则以下结论正确的是(A)A.B.C.D.解答:A。。3.若的二项式展开式中系数最大的项为(D)A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项解答:D.,r=10,第11项最大。4.设,,则下述关系式正确的是(D)。A.B.C.D.解答:D。函数为偶函数,在(0,)上,为减函数,而,,所以。1.下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为(C)正视图:半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图:半径为1的圆以及高为1的矩形俯视图:半径为1的圆A.B.C.D.解答:C.根据题意,该立体图为圆柱和一个1/4的球的组

4、合体。10.设有算法如下:如果输入A=144,B=39,则输出的结果是(B)A.144B.3C.0D.12解答B(1)A=144,B=39,C=27:(2)A=39,B=27,C=12:(3)A=27,B=12,C=3:(4)A=12,B=3,C=0。所以A=3。二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)11.满足方程所有实数解为。解答变形得,解得。12.函数的最小正周期为.解答。13.设P是圆上一动点,A点坐标为。当P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹方程为.解答设M的坐标

5、为,因为P点在圆上,所以所以P点轨迹为。14.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得AD把△ABC分成两个等腰三角形,试求△ABC的最小内角的取值范围为30°30,所以3022.5,所以22.5

6、15.设z是虚数,,且,则z的实部取值范围为.解答设当,无解;当。16.设。如果对任何,都有,则k的最小值为.解答分子,所以k的最小值为。17.设,。当函数的零点多于1个时,在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为0或q.解答因为函数为偶函数,由对称性以及图像知道,在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。三、解答题(本大题共有3小题,每题17分,共51分)18.设数列,问:(1)这个数列第2010项的值是多少;(2)在这个数列中,第2010个值为1的项的序号是多少.解(1)将数列分组:因为

7、1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2016,所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数,即为。---------10分(2)由以上分组可以知道,每个奇数组中出现一个1,所以第2010个1出现在第4019组,而第4019组中的1位于该组第2010位,所以第2010个值为1的项的序号为(1+2+3+…+4018)+2010=8076181。------------17分19.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜

8、色球数之积相等。问共有多少种放法。解:设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为,则有,且(*1)-----------------5分即有。(*2)于是有。因此中必有一个取5。不妨设,代入(*1)式,得到。----------------10分此时,y可取1,2,…,8,9(相应地z取9,8,…,2,1),共9种放法。同理可得y=5或者z=5时,也各有9种放法,

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