2017浙江省高中数学竞赛试卷版

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1、2017年浙江省高中数学竞赛参考答案一、填空题(每题8分,共80分)31061.在多项式(xx−+1)(2)的展开式中x的系数为____.673645546解答:x系数为2CCCC−⋅32+⋅32−2=−4128.101010102.已知log(5a−=3)log5,则实数a=________.7a2+13解答将原式化简为log(57a−=3)loga2+15。由于fx()=log(57x−3)为x>上的52增函数,gx()=log(x+1)为上的增函数,且fg(2)=(2)1=。因此可得实数5a=2.223.设fx()=++xaxb在[0

2、,1]中有两个实数根,则ab−2的取值范围为.222aa解答因为fx()=++=+xaxb(x)+−b在[0,1]中有两个实数根,所以ab,242a满足f(0)=≥b0,(1)f=++≥ab10,ab−4≥0,0≤−≤1.由此可得到22ab−2的取值范围为[0,2]。222222sinxxxyxy−+coscoscos−sinsin4.设xy,,∈且=1,则xy−=_____.sin(xy+)222222解答:由于sinx−+cosxcosxcosy−sinxsiny=+−sin(xy)sin(xy)且πsin(xy+≠)0,所以sin(x

3、y−=)1。故xyk−=2π+,k∈。25.已知两个命题,命题p:函数fx()=logxx(>0)单调递增;命题q:函数a2gx()=++>xax10(x∈).若pq∨为真命题,pq∧为假命题,则实数a的取值范围为_____________.解答:命题p成立当且仅当a>1;命题q成立当且仅当−<<22a。若pq∨为真命题,pq∧为假命题,则a∈−(2,1]∪[2,+∞).5q6.设S是(0,)中所有有理数的集合,对简分数∈=Spq,(,)1,定义函数8pqq+12f()=,则fx()=在S中根的个数为_____________.pp322

4、15m−1解答由于fx()=,令qmpm=−=21,3,m∈,则有0<<,<

5、动点E在线段AD上,则直线BE与平面ABC所成的角的取值范围为_______________.解答:记BC中点为O点,以O为原点,BC为x轴正向,OA为y轴正向,建31136立空间直角坐标系,则A(0,,0),B(−,0,0),C(,0,0),P(0,,).2226313613536所以D(,,)。从而可设Et(,−tt,)(01≤≤t),412642126113536于是BE=+−(,tt,)t。设所求角为θ,则422126222t2−−21717−12tanθ=。所以cotθ=6tt−+=66(t−+≥)2,27tt−+12122

6、22−114这里最后一个不等式是由于单调性以及t≥1。因此有0≤≤tanθ,714即θ∈[0,arctan]。79.已知平面向量abc,,,满足abc=1,=2,=3,01<<λ.若bc⋅=0,则ab−−−λλ(1)c所有取不到的值的集合为_______________.解答将向量bc,的起点平移至原点O,再以bc,分别为xy,轴正向建立平面直角坐标系。则向量λλbc+−(1)对应的点坐标为P(2,3(1λλ−))。6132于是OP=13λλ−+189,OP=。而ab−−−λλ(1)c表示的是点P到单位

7、min136圆周上的距离d,则d的最大值为4,最小值为131−.因此所有取不到的值的136集合为(−∞,13−1)∪(4,+∞)。13−<2,xx0,2210.已知fx()=方程fx()21+−+xfx()21−−−−=x2ax402xx−≥1,0,有三个根xxx<<.若xx−=−2(xx),则实数a=。12332212解答:设gx()21=−x,定义域为−≤≤11x,1max((),())fxgx=(fxgx()++−()fxgx()()).222方程可变形为max((),())fxgx=ax+2.由−≥−221xx得x≤−,从而有2

8、2−2,xx∈−−[1,]2max((),())fxgx=。2221−xx∈−[,1]222于是−=+⇒=−22xaxx(−≤≤−1x),可得0≤≤a

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1、2017年浙江省高中数学竞赛参考答案一、填空题(每题8分,共80分)31061.在多项式(xx−+1)(2)的展开式中x的系数为____.673645546解答:x系数为2CCCC−⋅32+⋅32−2=−4128.101010102.已知log(5a−=3)log5,则实数a=________.7a2+13解答将原式化简为log(57a−=3)loga2+15。由于fx()=log(57x−3)为x>上的52增函数,gx()=log(x+1)为上的增函数,且fg(2)=(2)1=。因此可得实数5a=2.223.设fx()=++xaxb在[0

2、,1]中有两个实数根,则ab−2的取值范围为.222aa解答因为fx()=++=+xaxb(x)+−b在[0,1]中有两个实数根,所以ab,242a满足f(0)=≥b0,(1)f=++≥ab10,ab−4≥0,0≤−≤1.由此可得到22ab−2的取值范围为[0,2]。222222sinxxxyxy−+coscoscos−sinsin4.设xy,,∈且=1,则xy−=_____.sin(xy+)222222解答:由于sinx−+cosxcosxcosy−sinxsiny=+−sin(xy)sin(xy)且πsin(xy+≠)0,所以sin(x

3、y−=)1。故xyk−=2π+,k∈。25.已知两个命题,命题p:函数fx()=logxx(>0)单调递增;命题q:函数a2gx()=++>xax10(x∈).若pq∨为真命题,pq∧为假命题,则实数a的取值范围为_____________.解答:命题p成立当且仅当a>1;命题q成立当且仅当−<<22a。若pq∨为真命题,pq∧为假命题,则a∈−(2,1]∪[2,+∞).5q6.设S是(0,)中所有有理数的集合,对简分数∈=Spq,(,)1,定义函数8pqq+12f()=,则fx()=在S中根的个数为_____________.pp322

4、15m−1解答由于fx()=,令qmpm=−=21,3,m∈,则有0<<,<

5、动点E在线段AD上,则直线BE与平面ABC所成的角的取值范围为_______________.解答:记BC中点为O点,以O为原点,BC为x轴正向,OA为y轴正向,建31136立空间直角坐标系,则A(0,,0),B(−,0,0),C(,0,0),P(0,,).2226313613536所以D(,,)。从而可设Et(,−tt,)(01≤≤t),412642126113536于是BE=+−(,tt,)t。设所求角为θ,则422126222t2−−21717−12tanθ=。所以cotθ=6tt−+=66(t−+≥)2,27tt−+12122

6、22−114这里最后一个不等式是由于单调性以及t≥1。因此有0≤≤tanθ,714即θ∈[0,arctan]。79.已知平面向量abc,,,满足abc=1,=2,=3,01<<λ.若bc⋅=0,则ab−−−λλ(1)c所有取不到的值的集合为_______________.解答将向量bc,的起点平移至原点O,再以bc,分别为xy,轴正向建立平面直角坐标系。则向量λλbc+−(1)对应的点坐标为P(2,3(1λλ−))。6132于是OP=13λλ−+189,OP=。而ab−−−λλ(1)c表示的是点P到单位

7、min136圆周上的距离d,则d的最大值为4,最小值为131−.因此所有取不到的值的136集合为(−∞,13−1)∪(4,+∞)。13−<2,xx0,2210.已知fx()=方程fx()21+−+xfx()21−−−−=x2ax402xx−≥1,0,有三个根xxx<<.若xx−=−2(xx),则实数a=。12332212解答:设gx()21=−x,定义域为−≤≤11x,1max((),())fxgx=(fxgx()++−()fxgx()()).222方程可变形为max((),())fxgx=ax+2.由−≥−221xx得x≤−,从而有2

8、2−2,xx∈−−[1,]2max((),())fxgx=。2221−xx∈−[,1]222于是−=+⇒=−22xaxx(−≤≤−1x),可得0≤≤a

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