2010年浙江省高中数学竞赛试卷

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1、2010年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1.化简三角有理式的值为（）A.1B.C.D.1+2.若，则是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.集合P={}，则集合为（　　　　）A.B.C.D.4.设,为两个相互垂直的单位向量。已知=，=，=r+k.若△PQR为等边三角形，则k，r的取值为（）A．B．C．D．5.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是()A．60°B．75°C．9

2、0°D．105°6.设，分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是（）7.若的二项式展开式中系数最大的项为（）A．第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项8.设，，则下述关系式正确的是（）。A．B.C.D.9.下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（）正视图：半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图：半径为1的圆以及高为1的矩形俯视图：半径为1的圆A.B.C.D.10.设有算法如下：如果输入A=144,B=39,则输出的结果是（B）A.144B.3C.0D.12二、填空题（本大题共有7小题，将正确答

3、案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.满足方程所有实数解为。12.函数的最小正周期为.13.设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为.14.设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为15.设z是虚数，，且，则z的实部取值范围为.16.设。如果对任何，都有，则k的最小值为.17.设，。当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，

4、共51分）18.设数列，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.19.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。20.已知椭圆，以（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为，求的值。四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB上的点。记。

5、证明：。22.（1）设，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线过格点（n，m），记对应的曲线段上的格点数为N。证明：。(2)进而设a是一个正整数，证明：。（注表示不超过x的最大整数）www.zxsx.com2010年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1．化简三角有理式的值为（A）A.1B.C.D.1+解答为A。。也可以用特殊值法2．若，则是的（B）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解答为B。p成立，所以p成立，推不出

6、q一定成立。3．集合P={}，则集合为（　　D　　）A.B.C.D.解答：D。画数轴，由绝对值的几何意义可得，。4．设,为两个相互垂直的单位向量。已知=，=，=r+k.若△PQR为等边三角形，则k，r的取值为（C）A．B．C．D．解答．C.，即。5．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是(C)A．60°B．75°C．90°D．105°解答：C。建立空间直角坐标系，以所在的直线为轴，在平面上垂直于的直线为轴，所在的直线为轴。则，。1．设，分别为等差数列与等比数列，且，

7、则以下结论正确的是（A）A.B.C.D.解答：A。。2．若的二项式展开式中系数最大的项为（D）A．第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项解答：D.，r=10，第11项最大。3．设，，则下述关系式正确的是（D）。A．B.C.D.解答：D。函数为偶函数，在（0，）上，为减函数，而，，所以。4．下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（C）侧视图：半径为1的圆以及高为1的矩形俯视图：半径为1的圆A.B.C.D.解答：C.根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。10.设有算法如下：如果输入A=144

8、,B=39,则输出的结果是（B）A.144B.3C.0D.12解答B（1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.满足方程所有实数解为。解答变形得，解得。12.函数的最小正周期为.解答。13.设P是圆上一动点，