数学竞赛训练题三

《数学竞赛训练题三》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数学竞赛训练题三一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式

2、Sn-n-6

3、<的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．82．设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）A．1B．-1C．2+D．-2+4．

4、已知=(cosπ,sinπ),,，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1B．C．2D．5．过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使

5、HQ

6、=λ

7、PH

8、(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等

9、腰三角形，也不是直角三角形二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则

10、x

11、-

12、y

13、的最小值是_________.8．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a（3）a是a,b,c,d中的最小数。那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.9．设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10．若对

14、x

15、≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒

16、成立，则t的取值范围是_______________.11．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.12．对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知a,b,c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙

17、Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。15．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],

18、f(x)

19、≤1的充要条件是：b-1≤a≤2；（3）当0

20、f(x)

21、≤1的充要条件。数学竞赛训练题三答案一、选择题1．由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，∴Sn-n=(a

22、1-1)+(a2-1)+…+(an-1)==6-6×(-)n，∴

23、Sn-n-6

24、=6×()n<，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。2．设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则VS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,S△PQR·d=S△PRS·d+S△PRS·d+S△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·

25、sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。3．xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。故选A。4．设向量=(x,y)，则，即，即.∴或，∴S△AOB==1。5．设P(x1,y1)，Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3,y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=。故选C。6．由logx=log

26、b(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A