数学竞赛训练题四

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1、数学竞赛训练题四一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设函数如果那么的值等于（）A．3B．7C．-3D．-72．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（）A．圆或椭圆B．椭圆或双曲线C．双曲线或抛物线D．抛物线或椭圆3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）A，1B．-1C．2+D．-2+4．已知，定义，则（　　　　）A．B．C．D．5．已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两

2、点，交于R,则　　（　　　　）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则

3、x

4、-

5、y

6、的最小值是_________.8．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a（3）a是a

7、,b,c,d中的最小数8那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.9．设则关于的方程的所有实数解之和为10．若对

8、x

9、≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.11．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为。12．对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知a,b,c∈R+，且满足≥(a

10、+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。815．数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n．8数学竞赛训练题四答案一、选择题1．设函数如果那么的值等于（）A．3B．7C．-3D．-7解：取，而当，所以，故选C.2．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的

11、一部分，则该曲线是（）A．圆或椭圆B．椭圆或双曲线C．双曲线或抛物线D．抛物线或椭圆解：把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题，容易的出答案D3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）A，1B．-1C．2+D．-2+解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。故选A。4．已知，定义，则（　　　　）A．B．C．D．解：计算可知是最小正周期为６的函数。即得，所以8＝，故选C.

12、5．已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则　　（　　　　）A．B．C．D．解：分别做由相似三角形的性质，得，又有双曲线的第二定义，得故平分所以选C.6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=

13、2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA>0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。二、填空题7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则

14、x

15、-

16、y

17、的最小值是_________.答案：。由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方

18、程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。8．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a（3）a是a,b,c,d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_____