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1、数学竞赛训练题一一．选择题（每小题6分，共36分）1．如果，，那么的值是（）2.设函数，f（－2）＝9，则 （ ） A.f（－2）＞f（－1） B.f（－1）＞f（－2） C.f（1）＞f（2） D.f（－2）＞f（2）3．已知二次函数满足则的取值范围是()A.B.C.D.4．如图1，设P为△ABC内一点，且，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为()A.B.C.D.5.设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示图形的面积是()A.B.C.1D.6．方程的正整数解的组数是（）A．1组B.2组C.4组D.8组二．填空题（每小题9分，共
2、54分）7．函数的单调递增区间为.8．已知，则的值是_____________________.9.设是一个等差数列，记，则的最小值为10．函数满足，且对任意正整数都有，则的值为11．.已知,则x2+y2的最大值是12．对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1（n∈N＋）时，规定[x]＝n，则不等式的解集为 三．解答题（每小题20分，共60分）13．设集合A=，B=，若A∩B≠，求实数a的取值范围.14．三角形ABC的顶点C的坐标满足不等式.边AB在横坐标轴上.如果已知点Q(0,1)与直线AV和BC的距离均为1,求三解形ABC面积的的最大值.15．设函数的定义域为
3、R，当时，，且对任意实数，有成立，数列满足且（1）求的值；（2）若不等式对一切均成立，求的最大值.数学竞赛训练题一参考答案1．B2.A3.C4.A5.B6.D7.8．..9．10．11．912．13.解:a∈(-1,0)∪(0,3)14．解：点C在如图的弓形区域内.设，由点Q到直线AC，BC的距离等于1得这说明是方程的2个根.所以这里.首先固定，欲使最大，需因此当为某一定值时，点C应位于弓形弧上.所以时取等号)数学竞赛训练题二数学竞赛训练题三一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn
4、。则满足不等式
5、Sn-n-6
6、<的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．82．设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）A．1B．-1C．2+D．-2+4．已知=(cosπ,sinπ),,，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1B．C．2D．5．过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（
7、H为垂足），延长PH到点Q，使
8、HQ
9、=λ
10、PH
11、(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则
12、x
13、-
14、y
15、的最小值是_________.8．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2
16、,3,4}（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a（3）a是a,b,c,d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.9．设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10．若对
17、x
18、≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.11．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.12．对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f
19、(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知a,b,c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。15．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],
20、f(x
