哈尔滨工程大学09矩阵论答案最后标准

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1、2009年矩阵论试题一．填空（每空3分，共30分）1，设与为n维线性空间V的两组基，且有=A，已知向量在基下的坐标为，则该向量在基下的坐标为.2，设，则2.3，已知三阶方阵A所对应的特征值为，且对应于三个特征值的特征向量分别为：则4，设为n阶方阵，为n维向量，则5，设，三阶方阵B的特征值为，则的特征值为6，设，，则7，设三维线性空间V上的线性变换T在基下的矩阵,则T在基下的矩阵为8，设，则=9，矩阵的Jordan标准形=10，的一个子空间V的一组基底是二.(15分)设是一个欧氏空间，是的一组基，已知基,,的度量矩阵为，(1)求的度量矩阵；(2)求一个单位向量与，，都正交；(3)求的度量矩

2、阵。解：(1)由到的过渡矩阵为，所以由到的过渡矩阵为，于是基的度量矩阵为。(2)设与均正交，则有：，解之得一个非零解(11,-6,-1,0)，令则其与均正交，将之单位化得。(3)的度量矩阵为。三（10分），已知，计算和。解答一：A的若当标准型为，相似变换矩阵与分别为,,，当时，，，故当时，，，故解法二：A的最小多项式为：，故所以，，由此解得：，。故故,四（10分），求矩阵的奇异值分解解答：,故由此可知，A的正奇异值为计算的标准正交特征向量，对于求得，对于求得，对于求得。,令：=则令有五（10分），求矩阵的满秩分解。解：对矩阵进行初等行变换其中所以，；而，其中由此可见，所以有六（10分），

3、求一个酉变换x=Uy，化二次型为标准形.解二次型的矩阵为它的特征多项式为于是正交变换为七（10分）设是由向量诱导的矩阵范数，且为可逆阵，证明：（1），（2）证明（1）由,,则有，即：（2）由诱导范数的定义，并作变换即八．（5分）已知，可逆，证明（1）可逆；（2）可逆。证明：（1）设，，所以可逆.设，，，由可逆