一道看似简单的几何题

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1、一道看似简单的几何题几何证明题的难易，有时很难从题目本身来确定，譬如九点圆，（三角形三边中点、三垂足和三角形各顶点与其垂心联线的中点，这九点共圆）从题目看就很吓人，证明起来会很费些周折。可是有些题，如：等腰三角形两底角的角平分线相等，是一道很简单的几何题，学过平面几何的人，都能很容易证明出来。它的逆命题，题目也很简单：“一个三角形，若有两内角角平分线相等，它就是一个等腰三角形”。这道题证明起来应该和原题差不多，如果你有这种想法，那就不妨试一试，试过之后你就会知道，看似简单的题目，证明起来不一定就简单。这道几何题，可是个在数学史上占有一席之地的题，叫“

2、Steiner—Lehmus定理”。Jacob·Steiner是十九世纪瑞士的一位几何学家，1840年他收到一位叫Lehmus的人提出的一道看似简单的几何题：“任意三角形，若有两内角平分线相等，则为等腰三角形。”请求给出证明。Steiner先生虽然给出了证明，但证明太复杂，当时人们就想，这样一道简单的几何题，证明起来不该这样复杂，于是在随后的几年里，出现了一股证明该命题的热潮。据上世纪六十年代美国《数学月报》统计，该定理有六十多种证明。下面这个证明是由两位英国工程师发表于美国《数学月报》1963年卷7上的。引理：三角形中较小的内角平分线较长证：如图，

3、设ΔABC中∠B＜∠C，BM、CN分别为角平分线，欲证CN＜BM取BM上一点P，使∠NCP=∠PBN=(1/2)∠B，因而有B、N、P、C四点共圆，在该圆中两圆周角∠NBC＜∠BCP，则有它们所对的弦CN＜BP∵BP＜BM，∴CN＜BM。由此引理可以得到原命题的逆否命题：若ΔABC中∠B≠∠C，则有BM≠CN。因而原定理得证。下面这个证明是张景中院士给出的，这个证明的优点是不用添加任何辅助线。本证明应用了他提出的几何解题新思路——面积方法，张院士正是在这一方法的基础上，通过探索，取得了几何定理可读证明自动生成的成果。如图，设△ABC中角平分线CD=B

4、E=m又设BC=a，AC=b，AB=c，∠ABE=α，∠ACD=β∵∴同除以(1/2)acm，得即(∵sin2α=2sinαcosα)，同理可得两式减得若bβ，cosα0，即cosα-cosβ>0这个矛盾证明b≤c，同理可得c≤b，因此b=c。