八年级数学寒假专题——因式分解的应用华东师大版

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5、，每个花坛边缘直的部分的长分别是36m、25m、30m、28m、25m、32m、24m、24m、22m和32m，试求出这些花坛的总面积。分析：把生活中的实例转化为数学问题来求解是“数学建模”思想的运用，花坛的形状应归类到数学中的几何图形，进而求出面积。可以把每个花坛的面积都看作是一个长方形与两个半圆的面积和，即一个长方形与一个圆的面积和。解：设花坛总面积为S，则：评析：凭借想象力，设每个花坛的两端各组成一个圆，而10个花坛的中间部分顺次首尾相接，形成一个很长的长方形，这样重新组合并不改变总面积。在解

6、题时局部使用了提取公因式进行了因式分解，并运用加法的交换律与结合律简化了整个运算过程。例2.一圆形灯具（如图1），在一个大圆盘中，嵌入四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，有阴影部分的面积是，试求大、小圆盘的半径。图1解：设大圆盘的半径为Rdm，小圆盘的半径为rdm，则由题意，得即由于、必有1项为5的倍数，则用心爱心专心评析：在这里因式分解是解题的关键，因为因式分解可以得到，解题思路豁然开朗。例3.已知长方形的周长是16cm，它的两边x、y是整数，且满足，求其面积。分析：要求长方形面积，必须利用已知条件

7、求出两边x、y，一个条件是，另一个是条件等式。观察等式左端特点可以考虑利用交换律、结合律分组后分解因式，两个条件结合求值。解：，即又或解得x、y是整数，得故长方形面积例4.某商场有四层，第一层有商品种，第二层有商品种，第三层有商品种，第四层有商品种，则这个商场共有商品多少种？解：这个商场共有商品的种数为评析：求商品的种数自然是将各种商品数相加，但不应是简单的罗列，应用因式分解的知识化答案为最简形式。例5.图2（a）是一边长为的正方体；图2（b）是边长分别为a、b、c的三个正方体；图2（c）是一个长为

8、，宽为，高为的长方体。用因式分解的方法说明：图2（a）中的正方体的体积减去图2（b）中“三个正方体体积之和”的差是图2（c）中长方体体积的3倍。用心爱心专心图2分析：这是一道因式分解应用问题，如何把几何模型转化为代数运算是解题的关键。对照图形，首先应掌握正方体与长方体的体积公式，然后用字母列出各体积的代数式，通过因式分解求出结果。解：图2（a）中的长方体的体积为，图2（b）中的正方体的体积分别为、、，图3中的长方体的体积为图2（a）中的正方体的体积减去图2（b）中“三