八年级数学寒假专题——因式分解的应用华东师大版知识精讲.doc

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1、初二数学寒假专题——因式分解的应用华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：寒假专题——因式分解的应用在解决实际问题时，常利用因式分解的公式进行变形和转化，这样可使计算或运算简化，避免大量的复杂运算。因式分解就是简化运算的解题工具。【典型例题】例1.在一条宽阔的马路上，整齐排列着10个花坛，每个花坛的形状都像操场上的跑道圈那样两端呈半圆形，连接两个半圆边缘部分是直线的一部分。已知每个花坛的宽都是6m，每个花坛边缘直的部分的长分别是36m、25m、30m、28m、25m、32m、24m、24m、22m和3

2、2m，试求出这些花坛的总面积。分析：把生活中的实例转化为数学问题来求解是“数学建模”思想的运用，花坛的形状应归类到数学中的几何图形，进而求出面积。可以把每个花坛的面积都看作是一个长方形与两个半圆的面积和，即一个长方形与一个圆的面积和。解：设花坛总面积为S，则：评析：凭借想象力，设每个花坛的两端各组成一个圆，而10个花坛的中间部分顺次首尾相接，形成一个很长的长方形，这样重新组合并不改变总面积。在解题时局部使用了提取公因式进行了因式分解，并运用加法的交换律与结合律简化了整个运算过程。例2.一圆形灯具（如图1）

3、，在一个大圆盘中，嵌入四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，有阴影部分的面积是，试求大、小圆盘的半径。图1解：设大圆盘的半径为Rdm，小圆盘的半径为rdm，则由题意，得即由于、必有1项为5的倍数，则评析：在这里因式分解是解题的关键，因为因式分解可以得到，解题思路豁然开朗。例3.已知长方形的周长是16cm，它的两边x、y是整数，且满足，求其面积。分析：要求长方形面积，必须利用已知条件求出两边x、y，一个条件是，另一个是条件等式。观察等式左端特点可以考虑利用交换律、结合律分组后分解因式，两个条件结合求值。解：，即

4、又或解得x、y是整数，得故长方形面积例4.某商场有四层，第一层有商品种，第二层有商品种，第三层有商品种，第四层有商品种，则这个商场共有商品多少种？解：这个商场共有商品的种数为评析：求商品的种数自然是将各种商品数相加，但不应是简单的罗列，应用因式分解的知识化答案为最简形式。例5.图2（a）是一边长为的正方体；图2（b）是边长分别为a、b、c的三个正方体；图2（c）是一个长为，宽为，高为的长方体。用因式分解的方法说明：图2（a）中的正方体的体积减去图2（b）中“三个正方体体积之和”的差是图2（c）中长方体体积

5、的3倍。图2分析：这是一道因式分解应用问题，如何把几何模型转化为代数运算是解题的关键。对照图形，首先应掌握正方体与长方体的体积公式，然后用字母列出各体积的代数式，通过因式分解求出结果。解：图2（a）中的长方体的体积为，图2（b）中的正方体的体积分别为、、，图3中的长方体的体积为图2（a）中的正方体的体积减去图2（b）中“三个正方体体积之和”的差是图2（c）中长方体体积的3倍。例6.某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径，外径，长，利用因式分解计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的

6、混凝土？（取3.14，结果保留两个有效数字）分析：用管道外径面积减去内径面积再乘以长度L即可。解：根据题意，管道外径面积为，管道内径面积为，所以一节这样的管道的体积为：判断几何图形的形状例7.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长依次为a、b、c、d，且，，那么四边形ABCD是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形（2002年“希望杯”初二培训题）解：因为所以即因为所以即，故四边形ABCD是平行四边形选A比较代数式的大小例8.已知，，则M与N的大小关系是（）A.MNC.M=ND.不确定（20

7、02年“希望杯”初二第2试题）解：因为所以所以因此M>N，选B【模拟试题】1.如图，大圆的直径为a，大小圆的直径的差为b（1）求小圆的直径d及阴影部分的面积S（2）当a＝10，b＝6，取3.14时，求S的值。2.某地区根据地理位置及气候特点，在大棚种植上采用了如下的结构，占地呈矩形，四周的砖墙，上盖玻璃屋面，如果矩形的长、宽分别为a、b，且前沿墙高为c，后墙高为d（1）求这座大棚砖墙的面积S（2）如果a＝6.6m，b＝3.4m，c＝0.5m，d＝1.5m，求砖墙的面积3.（2002年“希望杯”初一培训题）

8、4.若，则的值等于（）A.0B.C.1D.3（2003年“希望杯”初二第1试题）5.一个自然数a恰好等于一个自然数b的平方，则称自然数a为平方数，如，64就是一个完全平方数，若，说明a是一个完全平方数。【试题答案】1.（1）；（2）65.942.（1）（2）原式3.4.C5.设，则是一个完全平方数