八年级数学寒假专题——常用的数学思想华东师大版知识精讲.doc

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1、初二数学寒假专题——常用的数学思想华东师大版【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——常用的数学思想二.主要内容：1.介绍八年级上学期课本中蕴含的几种常用的数学思想；2.通过典型例题谈如何运用数学思想提高解题能力。三.重点、难点：1.重点：（1）初步认识本册课本中蕴含的几种数学思想；（2）初步认识整体思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想、转化思想、变换思想等数学思想的特点。2.难点：如何运用以上数学思想指导我们解题。四.知识梳理：数学思想是数学的生命和灵魂，是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的本质认识，数学思想是提高解题能力根本之所在.同学们只有领会了数学思想

2、方法，才能有效地应用知识，形成能力.本册书中蕴含着许多重要的数学思想，需要我们去挖掘、拓展和应用。1.整体思想。解数学题时，人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之．殊不知，这种“只见树木、不见森林”的思考方法，常常导致解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废．其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．一般地，我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，

3、称为整体思想方法。在本册课本中主要表现为求代数式的值时的运用、乘法公式以及因式分解进行等式变形时的运用、通过平移与旋转或画辅助线时将分散图形化成规则的图形时的运用、求直角三角形面积时只需求出两直角边的积等.整体思想方法在考试解题中如果运用得好，将会赢得考试时间。2.分类讨论思想.分类讨论思想是指在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的基础上，将其转化为几个较简单的子问题，进而在既不重复又不遗漏的各种情况下处理解决问题的思想方法。本册书中表现在乘法公式中的完全平方公式、运用勾股定理需画出三角形的高在形外形内的讨论、幂的运算性质中对指数的奇偶情况的讨论、四边形中平行四边形与

4、等腰梯形的概念的讨论等等。分类思想是解题的一种常见的思想方法，它有利于培养和发展同学们思维的条理性、缜密性和灵活性，使同学们学会完整地考虑问题、解决问题，只有掌握了分类思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况。3.方程思想。用心爱心专心方程知识是初中数学的核心内容，掌握和理解方程思想并应用于解题十分必要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。方程思想对解决与等量有关的数学问题十分有效。在本册课本中，方程

5、思想表现为根据勾股定理列方程、根据幂的运算性质的等量关系列方程、平行四边形与特殊的平行四边形中求有关线段或角的度数时列方程等。4.数形结合思想。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行

6、的成功方案。勾股定理的运用是本册课本中数形结合思想的典范。5.转化思想。转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现.就解题的本质而言，解题即意味着转化，即把生疏的问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维.如数形结合思想，就是数与形之间的转化。在本册课本中，转化思想主要表现在四边形问题转化为三角形来解决，以及梯形问题转化为三角形和四边形来

7、解决等。6.变换思想。变换思想即是运用平移、旋转、对称等变换来构造图形，解决几何题的方法。在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，对应线段的长度不变，对应角的大小不变。平移、旋转和轴对称体现了运动变化的思想，在变化过程中，都存在着全等的图形。本册书中平移与旋转这一章是变换思想的具体体现。【典型例题】例1.已知求的值。分析：这类问题一般不适合解方程组求得、的值再代入计算，比较简便而常用的方法是，先对所给的代数式进行因式分解，使之出现含有和的式子，再整体代入求值。解：因为，所以==.用心爱心专心例2.如已知，，求的值。分析