八年级数学寒假专题——勾股定理华东师大版知识精讲

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1、初二数学寒假专题——勾股定理华东师大版【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——勾股定理1.勾股定理及其逆定理的概念；2.勾股定理及其逆定理的实际应用；3.解有关勾股定理的题型时常用的辅助线和数学思想方法.二.重点、难点：1.重点：⑴勾股定理及其逆定理的概念;⑵勾股定理及其逆定理的实际应用.2.难点：⑴勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别;⑵解有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法.三.知识梳理：1.勾股定理及其逆定理的概念⑴勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.例如：①如图所示，在等腰△ABC中，若AB＝AC＝13，BC＝10，求底边上

2、的高.②如图所示，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝4，CB＝3，求斜边AB上的高.解：①作AH⊥BC∵AB＝AC＝13，AH⊥BC②∵AC＝4，BC＝3∵5HC＝3×4⑵勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角.用心爱心专心例如：①如图所示，在△ABC中，三条边之比为9：12：15，那么此三角形为何三角形？②如图所示，在△ABC中，若，，那么此三角形为何三角形？解：①∴设∴此三角形是Rt△.②证：∴此三角形是Rt△.注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，

3、而其逆定理是直角三角形的判定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.2.勾股定理的证明方法介绍勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了400多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏.（1）赵爽的拼图法我国古代著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美.如图，在边长为的正方形中，有四个斜边为的全等的直角三角形，已知它们的直角边为、利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下：因

4、为正方形边长为，所以正方形的面积为.又因为正方形的面积＝，所以有.（2）旋转面积法如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A＇B＇C＇D的位置，D用心爱心专心点不动.若设AB＝，BC＝，DB＝，则梯形的面积＝，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为：.所以有：＝.化简为：，即.（3）美国第20任总统的拼图面积法加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为90°.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设AC＝BE＝，BC＝DE＝，AB＝DB＝.因为，.即＝即.3.有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方

5、法⑴解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形.⑵解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想.4.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题.【典型例题】例1.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积.分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2＋（4x）2＝202用心爱心专心化简得x2＝16；∴直角

6、三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96例2.如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.分析：注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，得x＝.所以SΔA

7、ED＝××13＝16.9(cm2).例3.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可.解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：由（1）得：x＋y＝7，（x＋y）2＝49，x2＋2xy＋y2＝49(3)(3)－(2)，得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）例4.等边三角形的边长为2，求它的面积.分析：要求等边三角形的面积，已知边长，只需求出任意一边上的高.解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D则：BD＝BC