2.2.1 椭圆的标准方程(ty)

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1、2.2.1椭圆的标准方程2.2.1椭圆的标准方程第1课时课题：椭圆的标准方程一．复习椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．二．椭圆的标准方程在解析几何中研究平面上的曲线，先建立平面直角坐标系，然后求曲线的方程，再用代数的方法研究这个曲线性质。例如前面研究的直线和圆。问题：要求椭圆的方程，你认为怎样建直角坐标系为好？为什么？102.2.1椭圆的标准方程问题：设椭圆的两焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，

4、椭圆上任意一点M到F1、F2的距离和为2a（2a＞2c＞0），你能求这个出椭圆的方程吗？建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且原点点O与线段F1F2的中点重合．设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c＞0），那么，焦点F1、F2的坐标分别为（－c，0）、（c，0）．又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．由椭圆的定义，椭圆就是集合P＝{M

5、

6、MF1

7、＋

8、MF2

9、＝2a}．因为

10、MF1

11、＝，

12、MF2

13、＝，所以＋＝2a．移项后两边平方，得（x＋c）2＋y2＝4a2－4a＋（x－c）2＋y2．整理

14、，得a2－cx＝a．两边再平方，得102.2.1椭圆的标准方程a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）．由椭圆的定义可知2a＞2c，所以a2－c2＞0．令a2－c2＝b2，其中b＞0，代入上式，得b2x2＋a2y2＝a2b2，两边同除以a2b2，得（a＞b＞0）．①从上述推导过程可知，这个椭圆是所有以方程（a＞b＞0）的解为坐标的点组成的．这就是说，如果M（x0，y0）是椭圆上的点，那么（x0，y0）一定是这个方程的解；反过来，如果

15、（x0，y0）是方程（a＞b＞0）的解，那么以它为坐标的点一定在这个椭圆上，这样，我们就说（a＞b＞0）是这个椭圆的方程这个方程叫做椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中b2＝a2－c2．问题：如果焦点F1、F2在y轴上，焦点F1、F2的坐标分别为（0，－c）、（0，c），a、b的意义同上（如图），椭圆的标准方程又是怎样的？你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征来猜想出结论吗？102.2.1椭圆的标准方程实际上，图2相当于先将图1中的x轴、y轴互换，再将x轴改变方向，

16、因此，只要将方程①中的x、y互换，就可得到该椭圆的方程（显然x轴的方向改变了，但是方程①中以－y代y后方程仍保持不变）：（a＞b＞0）．这个方程也的椭圆的标准方程．说明：1．椭圆的标准方程有二：或（a＞b＞0）．之所以称它为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用椭圆的对称性建立直角坐标系有关．对椭圆的标准方程还应注意理解以下几点：（1）标准方程中的两个参数a和b是椭圆的定形条件，a、b的值一旦确定，椭圆的形状和大小也就随之确定；（2）焦点F1、F2的位置是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的的类型，也就是说，102

17、.2.1椭圆的标准方程若知道了焦点的位置，其标准方程只有一种形式；若不知道焦点的位置，其标准方程具有两种类型．我们应当特别重视方程的形式与图形的对应关系，养成先“定型”再确定方程的习惯．（3）任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点的坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式．（4）由椭圆的定义中常数大于

18、F1F2

19、的要求，有2a＞2c＞0．2．在推导椭圆的标准方程的过程中，渗透数形结合的思想了．如“令a2－c2＝b2”，这不仅可以使方程变得简单整齐，同时它还有很明确的

20、几何意义．请思考：（1）a，b，c三个参数有什么几何意义？等式a2＝b2＋c2又有怎样的几何意义？（2）在推导出后，可将它变形为或，它们有怎样的几何意义？102.2.1椭圆的标准方程3．椭圆的两个基本问题：（1）求椭圆的标准方程时，若条件符合椭圆的定义，中心在坐标原点，只要求出a、b．（2）若已知椭圆的方程，便可知a、b、c．三．例题例1（1）已知椭圆的焦点在x轴上，焦距是6，椭圆上的点到两个焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程．（2）求焦点为（0，4）和（0，－4），且过点（，－3）的椭圆的标准方程．解：（1）

21、由于椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程是．由题意，知2c＝6，2a＝10，所以a＝5，c＝3．由a2＝b2＋c2，得b2＝16．所以椭圆的标准方程是．（2）由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且c＝4，故设椭圆的方程是．102.2.1椭圆的标准方程由于点(,－3)在椭圆上，则有，解得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的方程是．说明：对于已经指明焦点