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1、第14课时 求曲线的方程 教学过程一、问题情境问题1 回忆建立椭圆、双曲线、抛物线方程的过程,求曲线的方程的一般步骤是什么?二、学生活动通过师生的讨论,总结得到,求曲线方程的步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合P={M
2、P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.三、数学运用【例1】 (教材第63页例1)长为2a(a>0)的线段AB的两个端点A,B分别在互相垂直的两条直线上滑动,求
3、线段AB的中点M的轨迹.[1](见学生用书P41)[处理建议] 以问题“如何使用AB=2a这一条件建立x,y之间的等量关系”引导学生思考,再根据题目中的条件寻找点M的轨迹方程或点M的轨迹的特征.[规范板书] 解法一 由直角三角形的知识可知,OM=AB=a(O为互相垂直的两直线的垂足),因此由圆的定义可知,动点M的轨迹为圆.(例1) 解法二 分别以这两条互相垂直的直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,设M(x,y).因为M为AB的中点,所以A(2x,0),B(0,2y).又因为AB=2a,所以(2x-0)2+(2y-0)2=4a2,化简得x2+y2=a2.所以
4、动点M的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆.[题后反思] (1)本题求的是轨迹而不是轨迹方程,注意“轨迹”与“轨迹方程”的不同.(2)解法一,利用平面几何的知识,根据圆的定义得到M的轨迹为圆;解法二,通过建立平面直角坐标系,求出轨迹方程,再根据方程确定轨迹.(变式)变式 长为3的线段AB的两个端点A,B分别在互相垂直的两条直线上滑动,M为线段AB上一点,且BM=2AM,求点M的轨迹.[规范板书] 解 分别以这两条互相垂直的直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,设M(x,y).因为M为线段AB上一点,且BM=2AM,所以A,B(0,3y).又因为AB=3,所以+(
5、3y-0)2=9,化简得+y2=1,所以动点M的轨迹为椭圆.【例2】 (教材第63页例2)求平面内到两个定点A,B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程.[2](见学生用书P42)[处理建议] 建立直角坐标系的方法不唯一,让学生自己建立直角坐标系解题,再进行点评、修正、总结. (例2) [规范板书] 解 以A为坐标原点,直线AB为x轴,以过点A与直线AB垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.设AB=2a,M(x,y),则A(0,0),B(2a,0).因为M满足=2,所以=2,化简得x2+y2-ax+a2=0.所以动点M的轨迹方程为x2+y2-ax+a2=0.[题后反思
6、] (1)此题要求点M的轨迹方程,没有给出直角坐标系,因此首先必须建立直角坐标系,建立不同的直角坐标系,就会得到不同的方程.(2)此问题的结论,我们应该记住,平面内到两个定点的距离之比等于常数(不等于1)的点的轨迹是圆.(3)按照上述求曲线方程的步骤来求轨迹(曲线)方程的方法,通常称为直译法,这是求轨迹方程最常用、最基本的方法,希望同学们熟练掌握.变式 已知圆M的方程为(x-4)2+y2=1,过圆外一点P作圆M的切线PA.若PA=PO,求动点P的轨迹方程.[规范板书] 解 设P(x,y).由题意可知,PM2-1=PA2=2PO2,所以(x-4)2+y2-1=2(x2+y2
7、),化简得x2+y2+8x-15=0.所以动点P的轨迹方程为x2+y2+8x-15=0.【例3】 过圆O:x2+y2=4上一动点P,作y轴的垂线l,垂足为Q.若点M在直线l上,且=2,求动点M的轨迹方程.[3](见学生用书P42)[处理建议] 先设出两个动点——一个主动点(在已知曲线上移动)、一个被动点(轨迹点)的坐标,再根据题目中的条件“=2”确定两个动点的横坐标之间的关系.[规范板书] 解 设M(x,y),P(x0,y),则Q(0,y).因为=2,所以(x-x0,0)=2(x0,0),所以x0=x.又点在圆O:x2+y2=4上,所以+y2=4,化简得+=1,这就是所求
8、动点M的轨迹方程.[题后反思] 本题设轨迹点M的坐标为(x,y),接着用点M的坐标表示出点P的坐标,最后将点P的坐标代入圆O的方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(或相关点法).可以看出代入法求轨迹方程就是根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系式,用所求动点坐标表示相关动点的坐标,并代入相关动点所在曲线的方程,从而得到所求动点的轨迹方程.其步骤可以简称为“设”→“求”→“代”.变式 已知A为圆C:x2+y2-6x+8y+24=0上一动点,求线段OA的中点B的轨迹.[规范板书] 解 设B(x,y),则A(2x,2y).因为点
