归一思想与整体观念

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1、浅谈数学解题中的两种思维方式归一思想与整体观念常德市鼎城区韩公渡镇中学涂少君数学是一门逻辑性强、知识结构衔接紧密的学科，学生如果仅从书本上获得一些最基本的定理公式还远远不够，他们必须善于发现知识间的相互联系，在做了大量的题型后，能够敏锐地捕捉到更具价值的东西来，那就是方法，或者说技巧。应该说这种能力的获得对学生意义重大，作为教师在平时的教学中，应该注重学生能力的培养和方法的训练。笔者从教多年，发现有许多的题型都渗透着归一的思想或整体的观念，在教学实践中我试着用这样的思维方式诱导学生解题，收到了很好的效果。一、什么是归一思想：先看一个题例，若==≠0,求的值，有部分不爱多想的学生很快得出x=

2、3y=4z=7,然后将这些值代入中，仔细一想就知道这种解法不正确，因为x、y、z的值不一定是3、4、7，而有无数个。那怎样解才正确呢？根据题的特点，三个字母只知道它们的大小关系，不能确定它们的值，不妨引入一个参数K，设===K,则x=3K、y=4K、z=7K则==6，显然，按上述方法解答，并不困难。其实上例中的x,y,z的具体值不必求出，只需用同一未知数的代数式表示就可轻松解答这个题，这种方法就是归一思想。老师在向学生讲这个题的解法后，顺势启发学生：这道题中的字母可不可以都写成x或y或z的代数式呢？答案是肯定的。不少学生能顺利解答此题，并颇有成就感。这是一个简单的题例，下面再看一个较复杂的

3、例子，此此验证归一法的奇妙效果。若===,求的值。显然，a、b、c、d的值无法求出，可设====t,可得a=bt、b=ct、c=dt、d=at,可以a=bt=ct2=dt3=at4,所以t4=1,t=±1。当t=1时，a=b=c=d则=0,当t=－1时，a=－b=c=－d,则=－2。归一法的核心是“－”，这个“－”就是一个未知数，归一思想就是将多个未知数统一到一个未知数上的解题思想。这个未知数，要么可以求出它的值，如上例2，要么可以通过约分去掉，如上例1，适合这种解法的题大都具有未知数多，只知道相互间的数量关系，未知量无法求出等特点。遇到此类题，学生不妨一试此法，相信定有收获。二、什么是整

4、体观念在初二的数学基训和课外资料中，经常遇到这样的题：已如x+=3,求的值。已知-=3,求公式的值，这样的题，学生一般都想求出x、y的值，然后再代入式中求结果。这种错误的思考方向导致他们无法解答此类题。怎样解对呢？以第一个题为例，将x+=3看成整体不动，把变成含有x+代数式的式子，不难发现，只要分子、分母都除以x就可解答此题。===.解此题的方法关键有两点：第一是x+=3的整体代入，第二是要变为含有x+代数式的式子。按照此思路，让学生解答第2个题，教师可提示一下学生分式的分子分母应该同除以一个什么式子。为了使学生更有兴趣地接受这种方法，不妨再举一个例子。若a2-3a+1=0,试求2a5-5

5、a4+2a3-8a2+3a的值。解法如下：2a5-5a4+2a3-8a2+3a=2a5-6a4+2a3+a4-3a3+a2+3a3-9a2+3a=2a3(a2-3a+1)+a2(a2-3a+1)+3a(a2-3a+1)=(a2-3a+1)(2a3+a2+3a)=0从上面的例子可以看出，整体观念在数学解题当中的运用是相当普遍而实用的，尤其是解答较复杂的代数题更是如此。解此类题要把握两点：第一是将一个式子看成一个整体，第二是要把求值的代数式变成含有“整体”的代数式。三、如何培养学生的归一思想与整体观念。归一思想与整体观念是教师在教，学生在学的实践中总结和提炼的思想方法，它适用于大量的题型，它能

6、帮助学生快速，准确地解答许多习题，甚至是十分困难的题，因而学习和掌握这种方法是大有益处的。如何让学生熟练掌握这两种思维方式呢？首先是教师的“讲”，教师在教学中，有意识地选出一些典型例题，在解答之前注重学生对题的特点的观察，这一点很重要，不少学生就缺乏这点。做题匆匆下笔，不假思索，结果不是过程做不下去，就是答案错误。有的虽然答案对了，但过程相当复杂，费时费力实不可取。对题的特点地观察过程，实际上就是选择正确方法，获取技巧的过程。如果题型适合用归一法就用归一法，适合整体观念就用整体观念，或者还有其他的巧妙方法。教师都应鼓励学生去探究实践。现举一个例子：已知abc≠0且==求的值，教师在讲题前先

7、让学生观察条件及求的数式有什么特点，学生容易看出根据条件不能求出a,b,c的值，同时发现可写成··，再启发学生把、、都看成一个整体，然后引入一个参数t,设===t,只要解出t的值，此题便解答出来了。根据此例的性质=t解得t=2，可得=t3=8,此题既有归一思想，也有整体观念，教师在讲解例题的过程中要及时给学生启发和诱导。如上例的整体是什么？归一是怎样进行的？题目有什么特点？讲解例题后教师有必要小结一下适于归一法或整体代入