第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

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1、2009~2013年高考真题备选题库第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考点一命题及其关系1．（2013陕西，5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)A．若z2≥0，则z是实数　　　　　　B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜0解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；而选项C为假，选项D为真．答案

2、：C2．（2013天津，5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．其中真命题的序号为(　　)A．①②③　　　　　　　　　　B．①②C．①③D．②③解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是

3、①③.答案：C3．（2013四川，5分）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点．在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：

4、本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A，C，B三点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，C(c,0)，B(b,0)，0＜c＜b，对于平面内任意一点M(x，y)，

5、MA

6、＋

7、MB

8、＋

9、MC

10、＝＋＋≥

11、x

12、＋

13、x－b

14、＋

15、x－c

16、.因为0＜c＜b，所以当x＝c时，(

17、MA

18、＋

19、MB

20、＋

21、MC

22、)min＝b，此时M(c,0)，也就是M点与C点重合，故①正确；对于②，设△ABC中∠C为直角，以C

23、为原点，CA，CB分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy，并设点A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，M(x，y)为平面内任意一点，AB中点坐标为，则

24、MA

25、＋

26、MB

27、＋

28、MC

29、＝＋＋，当x＝，y＝时，

30、MA

31、＋

32、MB

33、＋

34、MC

35、＝，而当x＝0，y＝0时，

36、MA

37、＋

38、MB

39、＋

40、MC

41、＝a＋b，因为(a2＋b2)－(a＋b)2＝≥ab＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A，B，C，D四点在平面直角坐标系xOy中的x轴上由左至右排列，A(0,0)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，0＜b＜c

42、＜d，对于平面内任意一点M(x，y)，

43、MA

44、＋

45、MB

46、＋

47、MC

48、＋

49、MD

50、＝＋＋＋≥

51、x

52、＋

53、x－b

54、＋

55、x－c

56、＋

57、x－d

58、，因为0＜b＜c＜d，所以当x∈[b，c]时，

59、MA

60、＋

61、MB

62、＋

63、MC

64、＋

65、MD

66、取得最小值，此时M(x,0)，x∈[b，c]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A，C的中位点为线段AC之间的任意一点，B，D的中位点为线段BD之间的任意一点，所以A，B，C，D的中位点为线段AC与线段BD的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④.答案：①④4．（2012湖南，5分）命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是

67、(　　)A．若α≠，则tanα≠1B．若α＝，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α＝解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”．答案：C5．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为(　　)A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N＋，C＋C＋…＋C都是偶数解析：空间四边形可能四边相等，但不是

68、正方形，故A为真命题；令z1＝1＋bi，z2＝3－bi(b∈R)，显然z1＋z2＝4∈R，但z1，z2不互为共轭复数，B为假命题；假设x，y都不大于1