第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件(2)

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1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．若a∈R，则“a＝1”是“

2、a

3、＝1”的(　　)A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析若a＝1，则有

4、a

5、＝1是真命题，即a＝1⇒

6、a

7、＝1，由

8、a

9、＝1可得a＝±1，所以若

10、a

11、＝1，则有a＝1是假命题，即

12、a

13、＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是

14、a

15、＝1的充分而不必要条件．答案A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平

16、方不是正数，则它不是负数”解析原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案B3．已知集合A＝{x∈R

17、<2x<8}，B＝{x∈R

18、－12D．－2

19、<2x<8}＝{x

20、－13，即m>2.答案C4．命题：“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－

21、1，则x2≥1解析x2<1的否定为：x2≥1；－1

22、接法)当a＝0时，x＝－符合题意．当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则⇔⇔a<0；若方程两根均负，则⇔⇔0

23、a＋b

24、＞1⇔θ∈p2：

25、a＋b

26、＞1⇔θ∈p3：

27、a－b

28、＞1⇔θ∈p4：

29、a－b

30、＞1⇔θ∈其中真命题的个数是____________．解析　由

31、a＋b

32、＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为

33、a

34、＝1，

35、b

36、＝1，所以a

37、·b＞－，故θ∈.当θ∈时，a·b＞－，

38、a＋b

39、2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即

40、a＋b

41、＞1，故p1正确．由

42、a－b

43、＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为

44、a

45、＝1，

46、b

47、＝1，所以a·b＜，故θ∈，反之也成立，p4正确．答案　28．若“x2>1”是“x1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案－19．已知集合A＝，B＝{x

48、－1

49、实数m的取值范围是________．解析　A＝＝{x

50、－13，即m>2.答案　(2，＋∞)10．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解析　x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤.答案　充分不必要三、解答题11．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已

51、知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．12．求方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．解方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．当a＝0时，x＝－适合条件．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，当a＝1时，方程有一负根x＝－1.当a<1时，若方程有且仅有一负