学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件

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1、学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标:1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.                 自主梳理1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用綈p和綈q分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是原命题:若p则q(p⇒q);逆命题:若q则p(q⇒p);否命题:若綈p则綈q(綈p⇒綈q);逆否命题:若綈q则綈p

2、(綈q⇒綈p).(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为逆命题或否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件若p⇒q,则p叫做q的充分条件;若q⇒p,则p叫做q的必要条件;如果p⇔q,则p叫做q的充要条件.自我检测1.(2010·湖南)下列命题中的假命题是(  )A.∃x∈R,lgx=0B.∃x∈R,tanx=1C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0答案 C解析 对于C选项,当x=0时,03=0,因此∀x∈R,x3>0是假命题.2.(2010·陕西)“a>0”是“

3、a

4、>0”的(  )A.充分不必

5、要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 a>0⇒

6、a

7、>0,

8、a

9、>0a>0,∴“a>0”是“

10、a

11、>0”的充分不必要条件.3.(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 对于“x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立,因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件.4.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的(  )A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题答案 C解析 由四种命题逆否关系知,s是p的逆命题t的否命题.5

12、.(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M,则bM”等价的命题是(  )A.若aM,则bMB.若bM,则a∈MC.若aM,则b∈MD.若b∈M,则aM答案 D解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否命题即可.探究点一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.解题导引 给出一个命题,判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时,如果直接判断命题本身的真假比较困难,则可以通过判断它的等价命题的真假来确定.

13、解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.真命题.否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.真命题.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.假命题.(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.真命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.真命题.逆否命题:若一条直线不

14、经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.变式迁移1 有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题的序号为________.答案 ①③解析 ①的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,真;②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,假;③若q≤1,则Δ=4-4q≥0,所以x2+2x+q=0有实根,其逆否命题与原命题是等价命题,真;④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,

15、假.探究点二 充要条件的判断例2 给出下列命题,试分别指出p是q的什么条件.(1)p:x-2=0;q:(x-2)(x-3)=0.(2)p:两个三角形相似;q:两个三角形全等.(3)p:m<-2;q:方程x2-x-m=0无实根.(4)p:一个四边形是矩形;q:四边形的对角线相等.解 (1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0;而(x-2)(x-3)=0x-2=0.∴p是q的充分不必要条件.(2)∵两个三角形相似两个三角形全等;但两个三角形全等⇒两个三角形相似.∴p是q的必要不充分条件.(3)∵m<-2⇒方程x2-x-m=0无实根;方程x2

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