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1、要点梳理1.二项式定理.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，其中的系数（r=0，1，2，…n）叫做.式中的叫做二项展开式的，用Tr+1表示，即展开式的第项；Tr+1=.§10.3二项式定理及其应用二项式系数通项r+1基础知识自主学习2.二项展开式形式上的特点（1）项数为.（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为.（3）字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.（4）二项式的系数从，，一直到
2、，.n+1n降幂升幂3.二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端的两个二项式系数相等，即（2）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间的一项取得最大值.当n是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值.“等距离”（3）各二项式系数的和（a+b）n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即=2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和奇数项的二项式系数的和，即==.等于基础自测1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A
3、.24B.18C.16D.6解析T2=所以2n=8，n=4,所以==6.D2.（2009·浙江理，4）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A.-10B.10C.-5D.5解析∵的展开式的通项为令10-3r=4,得r=2,∴x4项的系数为=10.B3.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为（）A.3B.6C.9D.12解析∵x3=［2+（x-2）］3，∴展开式中含（x-2）2项的系数为a2=T2+1=×23-2=3×2=6.B4.在的展开式中，常数
4、项为15，则n的一个值可以是（）A.3B.4C.5D.6解析通项Tr+1=常数项是15，则2n=3r,且=15，验证n=6时，r=4合题意.D5.（2009·北京理，6）若（1+）5=a+b(a、b为有理数)，则a+b=（）A.45B.55C.70D.80解析∵(1+)5=1+5+20+20+20+4=41+29=a+b,a=41,b=29.C又a、b为有理数,∴∴a+b=41+29=70.题型一求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数
5、最大的项.利用已知条件前三项的系数成等差数列求出n,再用通项公式求有理项.解∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，n（n-1），∴2·=1+n（n-1），解得n=8或n=1（不合题意，舍去），思维启迪题型分类深度剖析当4-k∈Z时，Tk+1为有理项，∵0≤k≤8且k∈Z,∴k=0，4，8符合要求.故有理项有3项，分别是T1=x4，T5=x，T9=x-2.∵n=8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5=x.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求
6、（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数k+1，代回通项公式即可.探究提高知能迁移1已知的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.解由题意知，22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得n=5.（1）由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即=252.（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，∵r∈Z，∴r=3.故系数的绝对值最大的是第4项，T4=-·
7、27·x4=-15360x4.题型二求展开式中各项系数之和【例2】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)
8、a0
9、+
10、a1
11、+
12、a2
13、+…+
14、a7
15、.因为求的是展开式的系数和,所以可用赋值法求解.解令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1①令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37②思维启迪(1)∵a0==1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.(
16、2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1094.(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1093.(4)∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零,而a1,a3,a5,a7都小于零,∴
17、a0
18、+
19、a1
20、+
21、a2
22、+…+
23、a7
24、=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),=1093-（-1094）=2187探究提高本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒
