二项式系数的性质教案

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1、二项式系数的性质教案1　　教学目标　　1．掌握二项式系数性质，并会应用其解决一些简单问题．　　2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．　　3．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．　　教学重点与难点　　二项式系数的性质及应用．　　教学过程设计　　师：二项式定理的内容是什么？　　　　　　(教师板书)　　师：上一节课，我们已经学会了如何将二项式展开及求展开式中指定项或指定项系数、二项式系数的方法．今天，我们来研究一下二项式系数的性质．二项展开式中的二项式系数指的是谁？共有多少个？　　　　　　师：要研究它的一般规律，我们先通过杨辉三角看看n为特殊值时

2、，二项展开式中二项式系数有什么特点？(出示幻灯片，内容如下)(从特殊到一般的思想由此引发)　　杨辉三角：　　(引导学生猜想，猜想是发现的开始)　　生：第一项与第末项二项式系数相等．　　(诱导一下)　　师：这位同学找的是等量关系，是否完善呢？(用笔尖指杨辉三角中的二项式系数)　　生：第二项与倒数第二项的二项式系数相等，第三项与倒数第三项的二项式系数相等　　……．　　师：你能把你的想法概括成一句话吗？　　生：……　　师：在研究等差数列性质时，我们也发现了首末两项，第二项与倒数第二项，……它们和相等的规律，当时我们使用了什么术语呢？(学生顿悟)　　生：在二项展开式中，与首末两端“等

3、距”的两项的二项式系数相等．　　师：有一定理由，当n取1～6时，均可验证此规律正确，但如果就肯定它正确，未免太草率．谁能论证一下这个结论是否正确呢？　　　　　　师：由此“猜想”得到证明，可以写成性质形式．(板书)　　性质1在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等．即：　　　　师：发现了这个性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看两个小题．(出示幻灯片)　　1．求(a＋b)6展开式中的倒数第三项的二项式系数．　　2．若(a＋b)n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？　　师：谁愿意回答这两个题目．(给学生1～2分钟考虑一下)　　　　现第五

4、项就是倒数第三项，所以n＋1=7，即n=6．　　(此时，给出这两个小题，可使学生及时的理解性质1，并学会简单应用，有利于知识的巩固、概念的记忆)　　师：再看杨辉三角，找特点．　　生：二项式系数先增加后减小．　　师：有最值吗？　　生：有，中间位置可能最大．　　师：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大？　　(学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与)　　　　　　未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性)　　师：这个猜想是否正确呢？我可以告诉大家是正确的，但对它的严格证明，不是本节课的重点，有兴趣的同学可在课下研究证明．(板书)　　性质2二项式系数最大的项　

5、　(性质2的证明不给出，有利于突出本节课的重点，使内容合理，紧凑)　　师：性质2记忆一定要准确，如有疑问时，可以依靠杨辉三角，使特点法验证，下面我们再来看两个小题．(出示幻灯片)　　3．分别指出(a＋b)20与(x＋5y)15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数(用组合数表示)　　4．已知(a＋b)n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．　　　　　　(以上两个小题也是对性质2的巩固)　　师：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？在排列组合中，我们做过这样一个题目：(出示幻灯片)　　已知集合A={0，1，

6、2｝，求它的所有子集的个数．　　师：当时，我们是怎么做的呢？　　　　　　生：是，刚才求的就是二项式系数的和．(学生呼应，达到前后知识的联系，前一节中出这个题的一个目的就是为这一节作铺垫)　　再相加，但如果集合A中元素个数很多，我们该如何计算呢？二项式系数的和是否也有规律呢？　　(学生思考，诱导一下)　　师：不妨再从杨辉三角中挖掘．　　　　　　　生：2n，对吗？　　师：大家是否也同意这个同学的想法呢？如果认可，请给予例1(板书)严格地证明．　　　　　　师：例1是一个等式，可以通过证明等式的几条途径来考虑．　　(诱导一下)　　师：现在我们学习的是二项式定理，等号的两边都可以从这个

7、角度来考虑．(将2n换成(1＋1)n)　　学生甲：(板演)　　　　师：还有没有其它方法呢？这个等式与二项式定理(黑板上有)比较一下有什么发现呢？　　生：将二项式定理中的a，b都取成1，因为二项式定理对a，b取任意值都是成立的．　　生：(板演)　　在二项展开式中，　　　令a=1，b=1，得　　　　师：第二种方法是赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，它还有一个性质，也是很常用的，我直接给出，大家看看怎样证明．(板书)　　例2证明在(a＋b)n的展开式中，