二项式系数与各项的系数辨析

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1、全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem二项式系数与各项的系数辨析一、基础知识1、二项式系数与各项的系数的区别：二项展开式中各项的二项式系数为，它只与各项的项数有关，而与的值无关；而各项的系数则不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关，当然，在某些二项展开式（如是系数为1的单项式）中，各项的系数与二项式系数是相等的。2、二项式系数性质：(1)对称性：与首末两端等距的两项，二项式系数相同，即；(2)单调性：二项式系数先单增，后单减；当为偶数时，中间项的二项式系数最大；当为奇数时，中间

2、两项的二项式系数最大(3)所有二项式系数之和为，即(4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，均为；即；二、有关二项式系数的性质及计算的问题：例1、的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。分析：根据已知条件可求出，再根据的奇偶性；确定二项式系数最大的项.解：，，依题意有∴的展开式中，二项式系数最大的项为；设第项系数最大，则有.∴∴系数最大的项为.【评注】：①、求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大；为偶数时中间一项的二项式系数最大。②、求展开式

3、中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得。例2、在的展开式中的系数为（）A、160B、240C、360D、8002快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导咨询电话：13692757518范老师全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用.应想办法将三项式化为二项式求解.解：由，知的展开式中x的系数为，常数项为1，的展开式中的系数为，常数项为.因此原式中x的系数为。【评

4、注】：多项展开通常转化为二项展开，转化的方式通常是配方，因式分解等.例3、已知，求(1)；(2)；(3)分析：由对于而言是一个恒等式，于是通过的取值可进行求解．解：(1)∵，令，得。令得，∴。(2)令，得；由上式得；(3)。【评注】：在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法．例4、设，若其展开式中关于的一次项的系数和为11，问为何值时，含项的系数取最小值？并求这个最小值。分析：根据已知条件得到的系数关于的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题。解：∵，∴，项的系数取最小值，最小值为25。

5、【评注】：二次函数的对称轴方程为，即x=5.5，由于5、6距5.5等距离，且对，距5.5最近，所以的最小值在或处取得。2快乐的学习，快乐的考试！初高中数学或暑假作业辅导咨询电话：13692757518范老师